대수 예제

$(1, 1, 1)$ , $(1, 2, 3)$ , $(2, 2, 2)$ , $(4, 7, 10)$

단계 1

주어진 점 $C = (2, 2, 2)$ 과 $D = (4, 7, 10)$ 를 이용하여 직선 $CD$ 에 평행하며 $A = (1, 1, 1)$ 과 $B = (1, 2, 3)$ 점을 포함하는 평면을 구합니다.

$A = (1, 1, 1)$

$B = (1, 2, 3)$

$C = (2, 2, 2)$

$D = (4, 7, 10)$

단계 2

먼저, 점 $C$ 와 $D$ 를 지나는 직선의 방향벡터를 계산합니다. 점 $D$ 의 좌표값에서 점 $C$ 의 좌표값을 빼면 방향벡터를 구할 수 있습니다.

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

단계 3

$x$ , $y$ , $z$ 값을 대입해서 정리하여 선 $CD$ 에 대한 방향벡터 $V_{CD}$ 를 구합니다.

$V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩$

단계 4

같은 방법으로 $A$ 점과 $B$ 점을 지나는 직선의 방향 벡터를 계산합니다.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

단계 5

$x$ , $y$ , $z$ 값을 대입해서 정리하여 선 $AB$ 에 대한 방향벡터 $V_{AB}$ 를 구합니다.

$V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩$

단계 6

해가 되는 평면은 점 $A$ , $B$ 를 포함하는 직선을 포함하며 방향 벡터 $V_{A B}$ 를 갖습니다. 이 평면이 직선 $C D$ 에 평행하도록 직선 $C D$ 의 방향 벡터에 직교하는 평면의 법선 벡터를 찾습니다. 행렬 $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ 의 행렬식을 구해 외적 $V_{A B}$ x $V_{C D}$ 를 계산하여 법선 벡터를 구합니다.

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]$

단계 7

행렬식을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$0$ 성분이 가장 많은 행이나 열을 선택합니다. $0$ 성분이 없으면 임의의 행이나 열을 선택합니다. 행 $1$ 의 모든 성분에 여인자를 곱한 후 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

해당 사인 차트를 고려합니다.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 7.1.2

지수가 사인 차트에서 $-$ 위치와 일치할 경우 여인자는 기호가 변경된 소행렬식입니다.

단계 7.1.3

$a_{11}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $1$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

단계 7.1.4

$a_{11}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

단계 7.1.5

$a_{12}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$

단계 7.1.6

$a_{12}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j$

단계 7.1.7

$a_{13}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $3$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

단계 7.1.8

$a_{13}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.1.9

항을 함께 더합니다.

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.2

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.2.2.1.2

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.2.2.2

$8$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.3

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.3.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1.1

$0$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.3.2.1.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.3.2.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

단계 7.4

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k$

단계 7.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1.1

$0$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k$

단계 7.4.2.1.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

단계 7.4.2.2

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

단계 7.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$i$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k$

단계 7.5.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 2 i + 4 j - 2 k$

단계 8

점 $A$ 가 평면 위에 있으므로, 이 점에서 식 $(- 2) x + (4) y + (- 2) z$ 를 풉니다. 이는 평면방정식의 상수를 계산하는 데 사용됩니다.

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단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1$

단계 8.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1$

단계 8.1.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 + 4 - 2$

단계 8.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$- 2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$2 - 2$

단계 8.2.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0$

단계 9

상수를 더하여 평면의 방정식 $(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$ 을 구합니다.

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$

단계 10

$- 2$ 에 $z$ 을 곱합니다.

$- 2 x + 4 y - 2 z = 0$

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