微分積分例

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

ステップ 1

指定した区間 $[a, b]$ における関数 $f$ の二乗平均平方根は、元の値の二乗の算術平均（平均）の平方根です。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

ステップ 2

実際の値を関数の二乗平均平方根の公式に代入します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

ステップ 3

積分を求めます。

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ステップ 3.1

$u = 4 x - 2$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$u = 4 x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1.1

$4 x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 3.1.1.2

総和則では、 $4 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 3.1.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 3.1.2

$u = 4 x - 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 4 - 2$

ステップ 3.1.3.2

$4$ から $2$ を引きます。

$u_{lower} = 2$

ステップ 3.1.4

$u = 4 x - 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

ステップ 3.1.5

簡約します。

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ステップ 3.1.5.1

$4$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = 12 - 2$

ステップ 3.1.5.2

$12$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = 10$

ステップ 3.1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

ステップ 3.1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

ステップ 3.2

$u^{2}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

ステップ 3.3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

ステップ 3.4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

ステップ 3.5

代入し簡約します。

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ステップ 3.5.1

$10$ および $2$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

ステップ 3.5.2

簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$10$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

ステップ 3.5.2.2

$\frac{1}{3}$ と $1000$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

ステップ 3.5.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

ステップ 3.5.2.4

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

ステップ 3.5.2.5

$- 8$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

ステップ 3.5.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

ステップ 3.5.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

ステップ 3.5.2.8

$1000$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

ステップ 3.5.2.9

$\frac{1}{4}$ に $\frac{992}{3}$ をかけます。

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

ステップ 3.5.2.10

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{992}{12}$

ステップ 3.5.2.11

$992$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.11.1

$4$ を $992$ で因数分解します。

$\frac{4 (248)}{12}$

ステップ 3.5.2.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.11.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

ステップ 3.5.2.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

ステップ 3.5.2.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{248}{3}$

ステップ 4

二乗平均平方根の公式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{3 - 1}$ に $\frac{248}{3}$ をかけます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

ステップ 4.2

$3$ から $1$ を引きます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

ステップ 4.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{248}{2 \cdot 3}$ を約分します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $248$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

ステップ 4.3.2

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

ステップ 4.4

$\sqrt{\frac{124}{3}}$ を $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$124$ を $2^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.1.1

$4$ を $124$ で因数分解します。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.5.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.6

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.7.1

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.7.6.5

指数を求めます。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.8

分子を簡約します。

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ステップ 4.8.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

ステップ 4.8.2

$3$ に $31$ をかけます。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

10進法形式：

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

ステップ 6

問題を入力

微分積分 例

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