微分積分例

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(5, 7)$

ステップ 1

$y = 3 x^{3} + x + 3$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f (x)$ は $[5, 7]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} + x + 3 d x)$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

ステップ 7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \int_{5}^{7} x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

ステップ 10

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + \int_{5}^{7} 3 d x)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + 3 x]_{5}^{7})$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7}$ と $3 x]_{5}^{7}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

ステップ 12.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$7$ および $5$ で $\frac{x^{4}}{4}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

ステップ 12.2.2

$7$ および $5$ で $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1

$7$ を $4$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.2

$5$ を $4$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401 - 625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.4

$2401$ から $625$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1776}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.5

$1776$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.5.1

$4$ を $1776$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.5.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 (1)}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.5.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{444}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.5.2.4

$444$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \cdot 444 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.6

$3$ に $444$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.7

$7$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 49 + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.8

$\frac{1}{2}$ と $49$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.9

$3$ に $7$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.10

$21$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.11

$21$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + \frac{21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.12

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.13.1

$21$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 42}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.13.2

$49$ と $42$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.14

$5$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 25 + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.15

$\frac{1}{2}$ と $25$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 3 \cdot 5))$

ステップ 12.2.3.16

$3$ に $5$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15))$

ステップ 12.2.3.17

$15$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}))$

ステップ 12.2.3.18

$15$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}))$

ステップ 12.2.3.19

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 15 \cdot 2}{2})$

ステップ 12.2.3.20

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.20.1

$15$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 30}{2})$

ステップ 12.2.3.20.2

$25$ と $30$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{55}{2})$

ステップ 12.2.3.21

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91 - 55}{2})$

ステップ 12.2.3.22

$91$ から $55$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{36}{2})$

ステップ 12.2.3.23

$36$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.23.1

$2$ を $36$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2})$

ステップ 12.2.3.23.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.23.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

ステップ 12.2.3.23.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

ステップ 12.2.3.23.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{18}{1})$

ステップ 12.2.3.23.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + 18)$

ステップ 12.2.3.24

$1332$ と $18$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1350)$

ステップ 13

$7$ から $5$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 1350$

ステップ 14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$2$ を $1350$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (675))$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 675)$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$A (x) = 675$

ステップ 15

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