Esempi

Trova una base ortonormale con il metodo di Gram-Schmidt
, ,
Passaggio 1
Assegna un nome a ciascun vettore.
Passaggio 2
Il primo vettore ortogonale è il primo vettore in un dato insieme di vettori.
Passaggio 3
Usa la formula per trovare gli altri vettori ortogonali.
Passaggio 4
Trova il vettore ortogonale .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Usa la formula per trovare .
Passaggio 4.2
Sostituisci a .
Passaggio 4.3
Trova .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.1
Trova il prodotto scalare.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.1.1
Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.
Passaggio 4.3.1.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.1.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.1.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.3.1.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.3.1.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.3.1.2.2
Somma e .
Passaggio 4.3.1.2.3
Somma e .
Passaggio 4.3.2
Trova la norma di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.2.1
La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.
Passaggio 4.3.2.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.2.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 4.3.2.2.2
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 4.3.2.2.3
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 4.3.2.2.4
Somma e .
Passaggio 4.3.2.2.5
Somma e .
Passaggio 4.3.3
Trova la proiezione di su utilizzando la formula della proiezione.
Passaggio 4.3.4
Sostituisci a .
Passaggio 4.3.5
Sostituisci a .
Passaggio 4.3.6
Sostituisci a .
Passaggio 4.3.7
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.7.1
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.7.1.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 4.3.7.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 4.3.7.1.3
e .
Passaggio 4.3.7.1.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.7.1.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 4.3.7.1.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 4.3.7.1.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 4.3.7.2
Moltiplica per ogni elemento della matrice.
Passaggio 4.3.7.3
Semplifica ogni elemento nella matrice.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.7.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.3.7.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.3.7.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.4
Sostituisci la proiezione.
Passaggio 4.5
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.5.1
Combina ciascun componente dei vettori.
Passaggio 4.5.2
Sottrai da .
Passaggio 4.5.3
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 4.5.4
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 4.5.5
Sottrai da .
Passaggio 4.5.6
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 4.5.7
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 4.5.8
Sottrai da .
Passaggio 5
Trova il vettore ortogonale .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Usa la formula per trovare .
Passaggio 5.2
Sostituisci a .
Passaggio 5.3
Trova .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Trova il prodotto scalare.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1.1
Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.
Passaggio 5.3.1.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.1.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.1.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.1.2.2
Somma e .
Passaggio 5.3.1.2.3
Somma e .
Passaggio 5.3.2
Trova la norma di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1
La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.
Passaggio 5.3.2.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 5.3.2.2.2
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 5.3.2.2.3
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 5.3.2.2.4
Somma e .
Passaggio 5.3.2.2.5
Somma e .
Passaggio 5.3.3
Trova la proiezione di su utilizzando la formula della proiezione.
Passaggio 5.3.4
Sostituisci a .
Passaggio 5.3.5
Sostituisci a .
Passaggio 5.3.6
Sostituisci a .
Passaggio 5.3.7
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.7.1
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.7.1.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 5.3.7.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.3.7.1.3
e .
Passaggio 5.3.7.1.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.7.1.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.7.1.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.7.1.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 5.3.7.2
Moltiplica per ogni elemento della matrice.
Passaggio 5.3.7.3
Semplifica ogni elemento nella matrice.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.7.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.7.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.3.7.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.4
Trova .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.1
Trova il prodotto scalare.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.1.1
Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.
Passaggio 5.4.1.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.1.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.1.2.1.1
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.1.2.1.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.1.2.1.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.1.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.1.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.1.2.2
Somma e .
Passaggio 5.4.1.2.3
Somma e .
Passaggio 5.4.2
Trova la norma di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.1
La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.
Passaggio 5.4.2.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.2.1
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.2.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.4.2.2.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.4.2.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.4.2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.2.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.4.2.2.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.4.2.2.6
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.4.2.2.7
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 5.4.2.2.8
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.4.2.2.9
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.4.2.2.10
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 5.4.2.2.11
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.4.2.2.12
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 5.4.2.2.13
Somma e .
Passaggio 5.4.2.2.14
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 5.4.2.2.15
Somma e .
Passaggio 5.4.2.2.16
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.2.16.1
Scomponi da .
Passaggio 5.4.2.2.16.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.2.16.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.4.2.2.16.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.4.2.2.16.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.4.2.2.17
Riscrivi come .
Passaggio 5.4.2.2.18
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.2.2.19
Combina e semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.2.19.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.2.2.19.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.4.2.2.19.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.4.2.2.19.4
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.4.2.2.19.5
Somma e .
Passaggio 5.4.2.2.19.6
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.2.19.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 5.4.2.2.19.6.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.4.2.2.19.6.3
e .
Passaggio 5.4.2.2.19.6.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.2.19.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.4.2.2.19.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.4.2.2.19.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 5.4.2.2.20
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.2.20.1
Combina usando la regola del prodotto per i radicali.
Passaggio 5.4.2.2.20.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.3
Trova la proiezione di su utilizzando la formula della proiezione.
Passaggio 5.4.4
Sostituisci a .
Passaggio 5.4.5
Sostituisci a .
Passaggio 5.4.6
Sostituisci a .
Passaggio 5.4.7
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.1
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.4.7.1.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.1.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 5.4.7.1.2.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.4.7.1.2.3
e .
Passaggio 5.4.7.1.2.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.1.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.4.7.1.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.4.7.1.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 5.4.7.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.4.7.1.4
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.1.4.1
Scomponi da .
Passaggio 5.4.7.1.4.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.1.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.4.7.1.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.4.7.1.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.4.7.2
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 5.4.7.3
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.3.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.4.7.3.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.4.7.4
Moltiplica per ogni elemento della matrice.
Passaggio 5.4.7.5
Semplifica ogni elemento nella matrice.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.5.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.5.1.1
Sposta il negativo all'inizio di nel numeratore.
Passaggio 5.4.7.5.1.2
Scomponi da .
Passaggio 5.4.7.5.1.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.4.7.5.1.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.4.7.5.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 5.4.7.5.3
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.5.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.7.5.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.7.5.4
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.7.5.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.7.5.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.5
Sostituisci le proiezioni.
Passaggio 5.6
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.1
Combina ciascun componente dei vettori.
Passaggio 5.6.2
Combina ciascun componente dei vettori.
Passaggio 5.6.3
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.4
Riduci le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.4.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 5.6.4.2
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.4.2.1
Somma e .
Passaggio 5.6.4.2.2
Dividi per .
Passaggio 5.6.5
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.6
Sottrai da .
Passaggio 5.6.7
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 5.6.8
Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.8.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.9
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.9.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 5.6.9.2
Sottrai da .
Passaggio 5.6.10
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.10.1
Scomponi da .
Passaggio 5.6.10.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.10.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.6.10.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.6.10.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.6.11
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 5.6.12
Trova il comune denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.12.1
Scrivi come una frazione con denominatore .
Passaggio 5.6.12.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.12.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.12.4
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.12.5
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.12.6
Riordina i fattori di .
Passaggio 5.6.12.7
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.13
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 5.6.14
Semplifica sottraendo i numeri.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.14.1
Sottrai da .
Passaggio 5.6.14.2
Sottrai da .
Passaggio 5.6.15
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.15.1
Scomponi da .
Passaggio 5.6.15.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.15.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.6.15.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.6.15.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6
Trova la base ortonormale dividendo ciascun vettore ortogonale per la sua norma.
Passaggio 7
Trova il vettore unitario , dove .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Per trovare un vettore unitario nella stessa direzione di un vettore , dividi per la norma di .
Passaggio 7.2
La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.
Passaggio 7.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 7.3.2
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 7.3.3
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 7.3.4
Somma e .
Passaggio 7.3.5
Somma e .
Passaggio 7.4
Dividi il vettore per la sua norma.
Passaggio 7.5
Dividi ciascun elemento del vettore per .
Passaggio 8
Trova il vettore unitario , dove .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.1
Per trovare un vettore unitario nella stessa direzione di un vettore , dividi per la norma di .
Passaggio 8.2
La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.
Passaggio 8.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.1
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 8.3.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 8.3.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 8.3.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.6
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 8.3.7
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 8.3.8
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.9
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 8.3.10
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 8.3.11
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.3.12
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 8.3.13
Somma e .
Passaggio 8.3.14
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 8.3.15
Somma e .
Passaggio 8.3.16
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.16.1
Scomponi da .
Passaggio 8.3.16.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.3.16.2.1
Scomponi da .
Passaggio 8.3.16.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.3.16.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 8.3.17
Riscrivi come .
Passaggio 8.4
Dividi il vettore per la sua norma.
Passaggio 8.5
Dividi ciascun elemento del vettore per .
Passaggio 8.6
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.6.1
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 8.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 8.6.3
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 8.6.4
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 8.6.5
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 8.6.6
Moltiplica per .
Passaggio 8.6.7
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 8.6.8
Moltiplica per .
Passaggio 9
Trova il vettore unitario , dove .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Per trovare un vettore unitario nella stessa direzione di un vettore , dividi per la norma di .
Passaggio 9.2
La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.
Passaggio 9.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.3.2
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.2.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 9.3.2.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 9.3.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 9.3.5
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 9.3.6
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.7
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 9.3.8
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 9.3.9
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.3.10
Somma e .
Passaggio 9.3.11
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 9.3.12
Somma e .
Passaggio 9.3.13
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.13.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.13.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.3.13.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.3.13.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.3.13.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.3.14
Riscrivi come .
Passaggio 9.3.15
Qualsiasi radice di è .
Passaggio 9.4
Dividi il vettore per la sua norma.
Passaggio 9.5
Dividi ciascun elemento del vettore per .
Passaggio 9.6
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.6.1
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 9.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.6.3
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 9.6.4
e .
Passaggio 9.6.5
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 9.6.6
e .
Passaggio 10
Sostituisci i valori noti.
Inserisci il TUO problema
Mathway richiede javascript e un browser aggiornato.