Algebra lineare Esempi

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ a $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ a $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Espandi $(1 - λ) (4 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- λ$ per $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Sottrai $4 λ$ da $- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Passaggio 1.5.2.2

Sottrai $6$ da $4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Passaggio 1.5.2.3

Riordina $- 5 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 5$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.3

Somma $25$ e $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Passaggio 1.7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Passaggio 2

L'autovettore è uguale allo spazio nullo della matrice meno l'autovalore per la matrice identità dove $N$ è lo spazio nullo e $I$ è la matrice identità.

$ε_{B} = N (B - λ I_{2})$

Passaggio 3

Trova l'autovettore usando l'autovalore $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3.3

Sottrai $5$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.8

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.10

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.11

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.13.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13.4

Sottrai $5$ da $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.3

Trova lo spazio nullo quando $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Trova l'autovettore usando l'autovalore $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ogni elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3.3

Moltiplica $- - \sqrt{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3.3.2

Moltiplica $\sqrt{33}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3.4

Sottrai $5$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.13.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13.4

Moltiplica $- - \sqrt{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.13.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13.4.2

Moltiplica $\sqrt{33}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13.5

Sottrai $5$ da $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.3

Trova lo spazio nullo quando $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Scrivi la soluzione come combinazione lineare di vettori.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 4.3.7

La soluzione è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

L'autospazio di $B$ è l'elenco dello spazio vettoriale di ciascun autovalore.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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