Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Passaggio 1

Per determinare se la serie è convergente, determina se l'integrale della sequenza è convergente.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $t$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi.

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

Passaggio 5

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\infty$

Passaggio 6

Poiché l'integrale è divergente, la serie è divergente.

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