Calcolo Esempi

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

Passaggio 1

Per una serie infinita $\sum_{}^{} a_{n}$ , trova il limite $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ per determinare la convergenza utilizzando il criterio della radice di Cauchy.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Passaggio 2

Sostituisci $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta l'esponente nel valore assoluto.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Passaggio 3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Passaggio 3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $n$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Passaggio 3.4

Calcola l'esponente.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1.1

Sposta il limite all'interno dei segni di valore assoluto.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Passaggio 4.1.2

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $n$ .

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Passaggio 4.1.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Passaggio 4.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Passaggio 4.2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $n^{\frac{1}{n}}$ come $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

Passaggio 4.2.2

Espandi $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ spostando $\frac{1}{n}$ fuori dal logaritmo.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Passaggio 4.3

Calcola il limite.

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Passaggio 4.3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{n}$ e $\ln (n)$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

Passaggio 4.4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Passaggio 4.4.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Passaggio 4.4.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

Passaggio 4.4.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Passaggio 4.4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Passaggio 4.4.3.2

La derivata di $\ln (n)$ rispetto a $n$ è $\frac{1}{n}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Passaggio 4.4.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

Passaggio 4.4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

Passaggio 4.4.5

Moltiplica $\frac{1}{n}$ per $1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

Passaggio 4.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{n}$ tende a $0$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

Passaggio 4.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.6.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Passaggio 4.6.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 4.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Passaggio 4.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

Passaggio 4.6.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$L = | - 2 |$

Passaggio 4.6.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$L = 2$

Passaggio 5

Se $L < 1$ , la serie è assolutamente convergente. Se $L > 1$ , la serie è divergente. Se $L = 1$ , il criterio non è conclusivo. In questo caso, $L > 1$ .

La serie è divergente in $[0, \infty)$

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