Calcolo Esempi

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

Passaggio 3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

Passaggio 5

Moltiplica $(u + 1) u^{6}$ .

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $u$ per $u^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $u$ per $u^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

Passaggio 6.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

Passaggio 6.1.2

Somma $1$ e $6$ .

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $u^{6}$ per $1$ .

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

$\frac{1}{8}$ e $u^{8}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Passaggio 10.1.2

$\frac{1}{7}$ e $u^{7}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ .

$F (x) =$ $7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

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