Calcolo Esempi

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

Passaggio 1

Trova $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Passaggio 1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = r x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poiché $r$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $r x$ rispetto a $x$ è $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Moltiplica $r$ per $1$ .

$e^{r x} r$

Passaggio 1.3.2.3.2

Riordina i fattori in $e^{r x} r$ .

$r e^{r x}$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = r e^{r x}$

Passaggio 2

Trova $y''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Passaggio 2.2

Poiché $r$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $r e^{r x}$ rispetto a $x$ è $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = r x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r x$ .

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r x$ .

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Passaggio 2.4

Poiché $r$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $r x$ rispetto a $x$ è $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.5

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.6

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $e^{r x}$ per $1$ .

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 3

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ a $e^{r x}$ .

$4 (r^{2} y) = y$

Passaggio 5

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 r^{2} y = y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 r^{2} y = y$ .

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi $r^{2}$ per $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

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