Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

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Passaggio 2.1.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Passaggio 2.2

Riordina.

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Passaggio 2.2.1

Sposta $2 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 2 x$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 2 h + 2 x$

Passaggio 2.2.3

Riordina $2 h x$ e $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - (x^{2} + 2 x)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - (2 x)}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - 2 x}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

Passaggio 4.1.5

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $h^{2} + 2 h x + 2 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h}{h}$

Passaggio 4.1.7

Scomponi $h$ da $h^{2} + 2 h x + 2 h$ .

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Passaggio 4.1.7.1

Scomponi $h$ da $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 2 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.2

Scomponi $h$ da $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 2 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.3

Scomponi $h$ da $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 2}{h}$

Passaggio 4.1.7.4

Scomponi $h$ da $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 2}{h}$

Passaggio 4.1.7.5

Scomponi $h$ da $h (h + 2 x) + h \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $h + 2 x + 2$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 2$

Passaggio 4.2.2

Riordina $h$ e $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 2$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $2 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 2$

Passaggio 6

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$2 x + 0 + 2$

Passaggio 7

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x + 2$

Passaggio 8

Inserisci il TUO problema