Calcolo Esempi

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Passaggio 1

La media quadratica di una funzione $f$ su un intervallo $[a, b]$ specificato è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori originali.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori effettivi nella formula della media quadratica di una funzione.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Passaggio 3

Calcola l'integrale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = 4 x - 2$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sia $u = 4 x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Differenzia $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Passaggio 3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 3.1.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 4 x - 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Passaggio 3.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Passaggio 3.1.3.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 3.1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 4 x - 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Passaggio 3.1.5.2

Sottrai $2$ da $12$ .

$u_{upper} = 10$

Passaggio 3.1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Passaggio 3.1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 3.2

$u^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 3.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Passaggio 3.4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Passaggio 3.5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Calcola $\frac{1}{3} u^{3}$ per $10$ e per $2$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 3.5.2.2

$\frac{1}{3}$ e $1000$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Passaggio 3.5.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Passaggio 3.5.2.4

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 3.5.2.5

$- 8$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Passaggio 3.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Passaggio 3.5.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Passaggio 3.5.2.8

Sottrai $8$ da $1000$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Passaggio 3.5.2.9

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{992}{3}$ .

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.2.10

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{992}{12}$

Passaggio 3.5.2.11

Elimina il fattore comune di $992$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.1

Scomponi $4$ da $992$ .

$\frac{4 (248)}{12}$

Passaggio 3.5.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.11.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{248}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la formula della media quadratica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{3 - 1}$ per $\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 4.3

Riduci l'espressione $\frac{248}{2 \cdot 3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $2$ da $248$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{124}{3}}$ come $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi $124$ come $2^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Scomponi $4$ da $124$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $3$ per $31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Forma decimale:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Passaggio 6

Inserisci il TUO problema