Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 6]$

Passaggio 1

Trova la derivata di $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f' (x)$ è continua su $[0, 6]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $6$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

Passaggio 11.2

Calcola $2 x$ per $6$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.2.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.6

Somma $18$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $2$ per $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.8

Moltiplica $2$ per $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

Passaggio 11.3.9

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

Passaggio 11.3.10

Somma $12$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

Passaggio 11.3.11

Somma $36$ e $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

Passaggio 12

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

Passaggio 12.2

Somma $6$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi $6$ da $48$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 8$

Passaggio 14

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