Calcolo Esempi

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Passaggio 1

Scrivi $y = {(x + 3)}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Passaggio 2

Verifica se il punto dato è sul grafico della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ con $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Somma $1$ e $3$ .

$f (1) = 4^{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (1) = 16$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $16$ .

$16$

Passaggio 2.2

Poiché $16 = 16$ , il punto si trova sul grafico.

Il punto è sul grafico

Passaggio 3

Il coefficiente angolare della tangente è la derivata dell'espressione.

$m$ $=$ La derivata di $f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Passaggio 4

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 5

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Riscrivi ${(x + h + 3)}^{2}$ come $(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Passaggio 5.1.2.2

Espandi $(x + h + 3) (x + h + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3.3

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Passaggio 5.1.2.3.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Passaggio 5.1.2.4

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.4.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Passaggio 5.1.2.4.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Passaggio 5.1.2.5

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Passaggio 5.1.2.6

Somma $3 h$ e $3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Passaggio 5.1.2.7

La risposta finale è $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Passaggio 5.2

Riordina.

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Passaggio 5.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Passaggio 5.2.2

Riordina $2 h x$ e $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Passaggio 5.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Passaggio 6

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Passaggio 7.1.2

Semplifica.

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Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Passaggio 7.1.3

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Passaggio 7.1.4

Somma $h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Passaggio 7.1.5

Sottrai $6 x$ da $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Passaggio 7.1.6

Somma $h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Passaggio 7.1.7

Sottrai $9$ da $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Passaggio 7.1.8

Somma $h^{2} + 2 h x + 6 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Passaggio 7.1.9

Scomponi $h$ da $h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

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Passaggio 7.1.9.1

Scomponi $h$ da $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Passaggio 7.1.9.2

Scomponi $h$ da $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Passaggio 7.1.9.3

Scomponi $h$ da $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Passaggio 7.1.9.4

Scomponi $h$ da $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Passaggio 7.1.9.5

Scomponi $h$ da $h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Passaggio 7.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $h + 2 x + 6$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Passaggio 7.2.2

Riordina $h$ e $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di $2 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Passaggio 8.3

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Passaggio 9

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$2 x + 0 + 6$

Passaggio 10

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x + 6$

Passaggio 11

Semplifica $2 (1) + 6$ .

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Passaggio 11.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$m = 2 + 6$

Passaggio 11.2

Somma $2$ e $6$ .

$m = 8$

Passaggio 12

Il coefficiente angolare è $m = 8$ e il punto è $(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Passaggio 13

Trova il valore di $b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

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Passaggio 13.1

Per trovare $b$ , utilizza la formula dell'equazione di una linea.

$y = m x + b$

Passaggio 13.2

Sostituisci il valore di $m$ nell'equazione.

$y = (8) \cdot x + b$

Passaggio 13.3

Sostituisci il valore di $x$ nell'equazione.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Passaggio 13.4

Sostituisci il valore di $y$ nell'equazione.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Passaggio 13.5

Trova il valore di $b$ .

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Passaggio 13.5.1

Riscrivi l'equazione come $(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Passaggio 13.5.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 + b = 16$

Passaggio 13.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 13.5.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = 16 - 8$

Passaggio 13.5.3.2

Sottrai $8$ da $16$ .

$b = 8$

Passaggio 14

Ora che i valori di $m$ (pendenza) e $b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in $y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = 8 x + 8$

Passaggio 15

Inserisci il TUO problema