Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Passaggio 1.1.4

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = 0$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 2.4

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 4 x^{3}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = x^{4} - 6$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 4 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (1) = 4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $4$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0)$

Passaggio 8

Inserisci il TUO problema