Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 7

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

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