Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{4} - 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{4} + 14$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Passaggio 3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

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Passaggio 3.6.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{4}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $4$ per $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

Passaggio 3.7

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}$

Passaggio 3.8

Somma $28 x^{3}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{28}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}$

Passaggio 5

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi $24$ per $1$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 6.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{3}$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $x$ da $- 10 x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 6.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 6.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

Passaggio 6.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 6.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 6.5

Calcola il limite di $24$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 6.6

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}$

Passaggio 8.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.2.1

Dividi $24 - 10 \cdot 0$ per $1$ .

$\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$\frac{1}{28} (24 + 0)$

Passaggio 8.2.3

Somma $24$ e $0$ .

$\frac{1}{28} \cdot 24$

Passaggio 8.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 8.2.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$\frac{1}{4 (7)} \cdot 24$

Passaggio 8.2.4.2

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Passaggio 8.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Passaggio 8.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7} \cdot 6$

Passaggio 8.2.5

$\frac{1}{7}$ e $6$ .

$\frac{6}{7}$

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