Calcolo Esempi

$y = 3 x - x^{2}$ , $y = x^{2}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$3 x - x^{2} = x^{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi $3 x - x^{2} = x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$3 x - 2 x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$3 u - 2 u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $u$ da $3 u - 2 u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $u$ da $3 u$ .

$u \cdot 3 - 2 u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Scomponi $u$ da $- 2 u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- 2 u) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.3

Scomponi $u$ da $u \cdot 3 + u (- 2 u)$ .

$u (3 - 2 u) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$x (3 - 2 x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 - 2 x = 0 + y = x^{2}$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $3 - 2 x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $3 - 2 x$ uguale a $0$ .

$3 - 2 x = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $3 - 2 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 3$

Passaggio 1.2.5.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 3$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 1.2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (3 - 2 x) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = {(0)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ per $x$ in $y = {(0)}^{2}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $\frac{3}{2}$ .

$y = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{9}{2^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{9}{4}$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

Passaggio 2

Riordina $3 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 3 x$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $0$ e $\frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x - (x^{2}) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} + 3 x d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Passaggio 4.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- 2 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Passaggio 4.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Passaggio 4.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Passaggio 4.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x d x$

Passaggio 4.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 4.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 4.9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $\frac{3}{2}$ e per $0$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 4.9.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{3}{2}$ e per $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.4

Somma $\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.6.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.9.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.9.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 4.9.2.3.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Passaggio 4.9.2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Passaggio 4.9.2.3.8

Somma $\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{3^{3}}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- 2 \frac{\frac{27}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 2 \frac{\frac{27}{8}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 2 (\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1.3.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- 2 (\frac{3 (9)}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (\frac{9}{8}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{9}{8} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.4.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{2^{2}}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.5.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{4}}{2}$

Passaggio 4.9.3.1.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 4.9.3.1.7

Moltiplica $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1.7.1

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{9}{4 \cdot 2}$

Passaggio 4.9.3.1.7.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{8})$

Passaggio 4.9.3.1.8

Moltiplica $3 (\frac{9}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1.8.1

$3$ e $\frac{9}{8}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{8}$

Passaggio 4.9.3.1.8.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{8}$

Passaggio 4.9.3.2

Per scrivere $- \frac{9}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{8}$

Passaggio 4.9.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.3.1

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{27}{8}$

Passaggio 4.9.3.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{27}{8}$

Passaggio 4.9.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 27}{8}$

Passaggio 4.9.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.5.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{- 18 + 27}{8}$

Passaggio 4.9.3.5.2

Somma $- 18$ e $27$ .

$\frac{9}{8}$

Passaggio 5

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