Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan vektor eigen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 1.1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 1.1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.1.4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.4.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.4.3.3

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.4.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.4.3.5

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.4.3.6

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.1.5

Temukan determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Pilih baris atau kolom dengan elemen $0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen $0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di kolom $3$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.1.5.1.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi $-$ di grafik tanda.

Langkah 1.1.5.1.3

Minor untuk $a_{13}$ adalah determinan dengan baris $1$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Langkah 1.1.5.1.4

Kalikan elemen $a_{13}$ dengan kofaktornya.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Langkah 1.1.5.1.5

Minor untuk $a_{23}$ adalah determinan dengan baris $2$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Langkah 1.1.5.1.6

Kalikan elemen $a_{23}$ dengan kofaktornya.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Langkah 1.1.5.1.7

Minor untuk $a_{33}$ adalah determinan dengan baris $3$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.1.5.1.8

Kalikan elemen $a_{33}$ dengan kofaktornya.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.1.5.1.9

Tambahkan semua sukunya.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.1.5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.1.5.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.1.5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.2.1.1

Perluas $(5 - λ) (5 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.2.2

Kurangi $5 λ$ dengan $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Langkah 1.1.5.4.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

Langkah 1.1.5.4.2.2

Kurangi $4$ dengan $25$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

Langkah 1.1.5.4.2.3

Susun kembali $- 10 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Langkah 1.1.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.5.1.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Langkah 1.1.5.5.1.2

Tambahkan $0$ dan $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Langkah 1.1.5.5.2

Perluas $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.5.3.1

Kalikan $- 10$ dengan $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.2

Kalikan $4$ dengan $21$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.5.3.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.5.3.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.5.3.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 10$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Langkah 1.1.5.5.3.7

Kalikan $21$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

Langkah 1.1.5.5.4

Tambahkan $4 λ^{2}$ dan $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

Langkah 1.1.5.5.5

Kurangi $21 λ$ dengan $- 40 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

Langkah 1.1.5.5.6

Pindahkan $84$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

Langkah 1.1.5.5.7

Pindahkan $- 61 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

Langkah 1.1.5.5.8

Susun kembali $14 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

Langkah 1.1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

Langkah 1.1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.1

Faktorkan $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

Langkah 1.1.7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

Langkah 1.1.7.1.1.3

Substitusikan $3$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $3$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.1.3.1

Substitusikan $3$ ke dalam polinomialnya.

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Langkah 1.1.7.1.1.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Langkah 1.1.7.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Langkah 1.1.7.1.1.3.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

Langkah 1.1.7.1.1.3.5

Kalikan $14$ dengan $9$ .

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

Langkah 1.1.7.1.1.3.6

Tambahkan $- 27$ dan $126$ .

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

Langkah 1.1.7.1.1.3.7

Kalikan $- 61$ dengan $3$ .

$99 - 183 + 84$

Langkah 1.1.7.1.1.3.8

Kurangi $183$ dengan $99$ .

$- 84 + 84$

Langkah 1.1.7.1.1.3.9

Tambahkan $- 84$ dan $84$ .

$0$

Langkah 1.1.7.1.1.4

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $λ - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

Langkah 1.1.7.1.1.5

Bagilah $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ dengan $λ - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

Langkah 1.1.7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- λ^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

Langkah 1.1.7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Langkah 1.1.7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- λ^{3} + 3 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Langkah 1.1.7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Langkah 1.1.7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Langkah 1.1.7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $11 λ^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Langkah 1.1.7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Langkah 1.1.7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $11 λ^{2} - 33 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Langkah 1.1.7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

Langkah 1.1.7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Langkah 1.1.7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 28 λ$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Langkah 1.1.7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

Langkah 1.1.7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 28 λ + 84$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

Langkah 1.1.7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

Langkah 1.1.7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

Langkah 1.1.7.1.1.6

Tulis $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ sebagai himpunan faktor.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

Langkah 1.1.7.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ dan yang jumlahnya adalah $b = 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.2.1.1.1

Faktorkan $11$ dari $11 λ$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

Langkah 1.1.7.1.2.1.1.2

Tulis kembali $11$ sebagai $4$ ditambah $7$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

Langkah 1.1.7.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

Langkah 1.1.7.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

Langkah 1.1.7.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

Langkah 1.1.7.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- λ + 4$ .

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

Langkah 1.1.7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

Langkah 1.1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

Langkah 1.1.7.3

Atur $λ - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.3.1

Atur $λ - 3$ sama dengan $0$ .

$λ - 3 = 0$

Langkah 1.1.7.3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 3$

Langkah 1.1.7.4

Atur $- λ + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.4.1

Atur $- λ + 4$ sama dengan $0$ .

$- λ + 4 = 0$

Langkah 1.1.7.4.2

Selesaikan $- λ + 4 = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.4.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- λ = - 4$

Langkah 1.1.7.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- λ = - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- λ = - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.1.7.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.1.7.4.2.2.2.2

Bagilah $λ$ dengan $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.1.7.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.4.2.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$λ = 4$

Langkah 1.1.7.5

Atur $λ - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.5.1

Atur $λ - 7$ sama dengan $0$ .

$λ - 7 = 0$

Langkah 1.1.7.5.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 7$

Langkah 1.1.7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ benar.

$λ = 3, 4, 7$

Langkah 1.2

Vektor eigen sama dengan ruang nol matriks dikurangi sebanyak nilai eigen matriks satuannya di mana $N$ adalah ruang nol dan $I$ adalah matriks satuan.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Langkah 1.3

Temukan vektor eigen menggunakan nilai eigen $λ = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.2

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.4

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.5

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.6

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.7

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.1.2.9

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.4

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.5

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.7

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.8

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

Langkah 1.3.2.3.9

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.3

Temukan ruang nol ketika $λ = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.2

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.3

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.3.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.4

Tukar $R_{3}$ dengan $R_{2}$ untuk meletakkan entri bukan nol di $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.5

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{1}{5}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.5.1

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{1}{5}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.6

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.6.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Langkah 1.3.3.4

Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Langkah 1.3.3.5

Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 1.3.3.6

Tulis sebagai himpunan penyelesaian.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 1.3.3.7

Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 1.4

Temukan vektor eigen menggunakan nilai eigen $λ = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.1.2.3

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.1.2.4

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.1.2.5

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.1.2.6

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.1.2.7

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.1.2.8

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.1.2.9

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.3

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.3.1

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.3.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.3.4

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.3.5

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.3.7

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.3.8

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

Langkah 1.4.2.3.9

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Temukan ruang nol ketika $λ = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.2

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.2.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.3

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.3.1

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.4

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.4.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.5

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.5.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Langkah 1.4.3.4

Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Langkah 1.4.3.5

Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 1.4.3.6

Tulis sebagai himpunan penyelesaian.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 1.4.3.7

Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 1.5

Temukan vektor eigen menggunakan nilai eigen $λ = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Kalikan $- 7$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.1.2.3

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.1.2.4

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.1.2.5

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.1.2.6

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.1.2.7

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.1.2.8

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.1.2.9

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Kurangi $7$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.3.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.3.4

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.3.5

Kurangi $7$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.3.7

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.3.8

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

Langkah 1.5.2.3.9

Kurangi $7$ dengan $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Langkah 1.5.3

Temukan ruang nol ketika $λ = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $- \frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $- \frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.2

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.3

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.3.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.4

Tukar $R_{3}$ dengan $R_{2}$ untuk meletakkan entri bukan nol di $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.5

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.5.1

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.6

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.6.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Langkah 1.5.3.4

Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Langkah 1.5.3.5

Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 1.5.3.6

Tulis sebagai himpunan penyelesaian.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 1.5.3.7

Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 1.6

Ruang eigen $A$ adalah daftar ruang vektor untuk setiap nilai eigen.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 2

Tentukan $P$ sebagai matriks eigen vektor.

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Temukan balikan dari $P$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Temukan determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Pilih baris atau kolom dengan elemen $0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen $0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di kolom $2$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 3.1.1.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi $-$ di grafik tanda.

Langkah 3.1.1.3

Minor untuk $a_{12}$ adalah determinan dengan baris $1$ dan kolom $2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 3.1.1.4

Kalikan elemen $a_{12}$ dengan kofaktornya.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 3.1.1.5

Minor untuk $a_{22}$ adalah determinan dengan baris $2$ dan kolom $2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 3.1.1.6

Kalikan elemen $a_{22}$ dengan kofaktornya.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 3.1.1.7

Minor untuk $a_{32}$ adalah determinan dengan baris $3$ dan kolom $2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Langkah 3.1.1.8

Kalikan elemen $a_{32}$ dengan kofaktornya.

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Langkah 3.1.1.9

Tambahkan semua sukunya.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Langkah 3.1.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Langkah 3.1.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Langkah 3.1.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Langkah 3.1.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Langkah 3.1.4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

Langkah 3.1.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

Langkah 3.1.4.2.3

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

Langkah 3.1.4.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

Langkah 3.1.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Kalikan $- 1 (- \frac{2}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

Langkah 3.1.5.1.2

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $1$ .

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

Langkah 3.1.5.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + \frac{2}{5}$

Langkah 3.1.5.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Langkah 3.2

Karena determinannya bukan nol, terdapat balikan.

Langkah 3.3

Atur matriks $3 \times 6$ di mana paruh kirinya adalah matriks asli dan paruh kanannya adalah matriks satuan.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.4

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $- 5$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $- 5$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.4.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.4.2

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.4.3

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.4.4

Tukar $R_{3}$ dengan $R_{2}$ untuk meletakkan entri bukan nol di $2, 2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4.5

Kalikan setiap elemen $R_{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $3, 3$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Kalikan setiap elemen $R_{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $3, 3$ menjadi $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Langkah 3.4.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4.6

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ untuk membuat entri di $2, 3$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ untuk membuat entri di $2, 3$ menjadi $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4.6.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4.7

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ untuk membuat entri di $1, 3$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ untuk membuat entri di $1, 3$ menjadi $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.4.7.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.5

Paruh kanan bentuk eselon baris yang dikurangi adalah balikan.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4

Gunakan transformasi kesamaan untuk menemukan matriks diagonal $D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Langkah 5

Substitusikan matriks.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Dua matriks dapat dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Dalam kasus ini, matriks pertama adalah $3 \times 3$ dan matriks kedua adalah $3 \times 3$ .

Langkah 6.1.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 6.2

Kalikan $[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Langkah 6.2.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

Masukkan Soal