Kalkulus Contoh

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

Langkah 1

Periksa apakah hasil yang didapatkan sesuai dengan persamaan diferensial yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Temukan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $c$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $c e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$c e^{2 x} \cdot 2$

Langkah 1.1.3.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $c e^{2 x}$ .

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $2 c e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} c$

Langkah 1.1.3.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{2 x} c$ .

$2 c e^{2 x}$

Langkah 1.1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 2 c e^{2 x}$

Langkah 1.2

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial yang diberikan.

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Langkah 1.3

Hilangkan tanda kurung.

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Langkah 1.4

Hasil yang didapatkan sesuai dengan persamaan diferensial yang diberikan.

$y = c e^{2 x}$ adalah penyelesaian dari $y' = 2 y$

Langkah 2

Substitusikan pada nilai awal.

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Langkah 3

Selesaikan $c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Langkah 3.2

Sederhanakan $c e^{2 \cdot 0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$c e^{0} = 3$

Langkah 3.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$c \cdot 1 = 3$

Langkah 3.2.3

Kalikan $c$ dengan $1$ .

$c = 3$

Masukkan Soal