Kalkulus Contoh

$y = x^{2} + x$ , $y = x + 2$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x^{2} + x = x + 2$

Langkah 1.2

Selesaikan $x^{2} + x = x + 2$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} + x - x = 2$

Langkah 1.2.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} + x - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$x^{2} + 0 = 2$

Langkah 1.2.1.2.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$x^{2} = 2$

Langkah 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Langkah 1.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2}$

Langkah 1.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2}$

Langkah 1.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $\sqrt{2}$ untuk $x$ .

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $\sqrt{2}$ ke $x$ dalam $y = (\sqrt{2}) + 2$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \sqrt{2} + 2$

Langkah 1.3.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Langkah 1.3.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$y = \sqrt{2} + 2$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = - \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $- \sqrt{2}$ untuk $x$ .

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Langkah 1.4.2

Substitusikan $- \sqrt{2}$ ke $x$ dalam $y = (- \sqrt{2}) + 2$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Langkah 1.4.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Langkah 1.4.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- \sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - (x^{2} + x) d x$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - x^{2} - x d x$

Langkah 3.3

Gabungkan suku balikan dalam $x + 2 - x^{2} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$2 - x^{2} + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $2 - x^{2}$ dan $0$ .

$2 - x^{2}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 - x^{2} d x$

Langkah 3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Langkah 3.5

Terapkan aturan konstanta.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Langkah 3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Langkah 3.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Langkah 3.8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Evaluasi $2 x$ pada $\sqrt{2}$ dan pada $- \sqrt{2}$ .

$(2 \sqrt{2}) - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Langkah 3.8.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $\sqrt{2}$ dan pada $- \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.2

Tambahkan $2 \sqrt{2}$ dan $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.3

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{3}$ sebagai $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $- (\sqrt{2})$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.7

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.8

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{3}$ sebagai $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.9

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.12

Kalikan $\frac{\sqrt{8}}{3}$ dengan $1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3}$

Langkah 3.8.2.3.14

Tambahkan $\sqrt{8}$ dan $\sqrt{8}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{8}}{3}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{4 (2)}}{3}$

Langkah 3.8.3.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Langkah 3.8.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 (2 \sqrt{2})}{3}$

Langkah 3.8.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 3.8.3.4

Untuk menuliskan $4 \sqrt{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 3.8.3.5

Gabungkan $4 \sqrt{2}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 3.8.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 3.8.3.7

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 3.8.3.8

Kurangi $4 \sqrt{2}$ dengan $12 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Bentuk Desimal:

$3.77123616 \dots$

Langkah 5

Masukkan Soal