Trigonométrie Exemples

Déterminer une base orthonormale avec la méthode Gram-Schmidt
, ,
Étape 1
Attribuez un nom pour chaque vecteur.
Étape 2
Le premier vecteur orthogonal est le premier vecteur dans l’ensemble de vecteurs indiqué.
Étape 3
Utilisez la formule pour déterminer les autres vecteurs orthogonaux.
Étape 4
Déterminez le vecteur orthogonal .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Utilisez la formule pour déterminer .
Étape 4.2
Remplacez par .
Étape 4.3
Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Déterminez le produit scalaire.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1.1
Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.
Étape 4.3.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 4.3.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 4.3.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 4.3.1.2.2
Additionnez et .
Étape 4.3.1.2.3
Additionnez et .
Étape 4.3.2
Déterminez la norme de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
Étape 4.3.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 4.3.2.2.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 4.3.2.2.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 4.3.2.2.4
Additionnez et .
Étape 4.3.2.2.5
Additionnez et .
Étape 4.3.3
Déterminez la projection de sur à l’aide de la formule de projection.
Étape 4.3.4
Remplacez par .
Étape 4.3.5
Remplacez par .
Étape 4.3.6
Remplacez par .
Étape 4.3.7
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.7.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.7.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.3.7.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.3.7.1.3
Associez et .
Étape 4.3.7.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.7.1.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.7.1.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3.7.1.5
Évaluez l’exposant.
Étape 4.3.7.2
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.3.7.3
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.7.3.1
Multipliez par .
Étape 4.3.7.3.2
Multipliez par .
Étape 4.3.7.3.3
Multipliez par .
Étape 4.4
Remplacez la projection.
Étape 4.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.5.1
Associez chaque composant des vecteurs.
Étape 4.5.2
Soustrayez de .
Étape 4.5.3
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 4.5.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.5.5
Soustrayez de .
Étape 4.5.6
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 4.5.7
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.5.8
Soustrayez de .
Étape 5
Déterminez le vecteur orthogonal .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Utilisez la formule pour déterminer .
Étape 5.2
Remplacez par .
Étape 5.3
Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Déterminez le produit scalaire.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1.1
Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.
Étape 5.3.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.3.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.3.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.3.1.2.2
Additionnez et .
Étape 5.3.1.2.3
Additionnez et .
Étape 5.3.2
Déterminez la norme de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
Étape 5.3.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.3.2.2.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.3.2.2.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.3.2.2.4
Additionnez et .
Étape 5.3.2.2.5
Additionnez et .
Étape 5.3.3
Déterminez la projection de sur à l’aide de la formule de projection.
Étape 5.3.4
Remplacez par .
Étape 5.3.5
Remplacez par .
Étape 5.3.6
Remplacez par .
Étape 5.3.7
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.7.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.7.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 5.3.7.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.3.7.1.3
Associez et .
Étape 5.3.7.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.7.1.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.7.1.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.7.1.5
Évaluez l’exposant.
Étape 5.3.7.2
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 5.3.7.3
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.7.3.1
Multipliez par .
Étape 5.3.7.3.2
Multipliez par .
Étape 5.3.7.3.3
Multipliez par .
Étape 5.4
Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1
Déterminez le produit scalaire.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1.1
Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.
Étape 5.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1.2.1.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1.2.1.1.1
Multipliez par .
Étape 5.4.1.2.1.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.4.1.2.2
Additionnez et .
Étape 5.4.1.2.3
Additionnez et .
Étape 5.4.2
Déterminez la norme de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
Étape 5.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.4.2.2.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.4.2.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.2.2.3
Multipliez par .
Étape 5.4.2.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.2.2.5
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.2.2.6
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.4.2.2.7
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.4.2.2.8
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.2.2.9
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.4.2.2.10
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.4.2.2.11
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.2.2.12
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.4.2.2.13
Additionnez et .
Étape 5.4.2.2.14
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.4.2.2.15
Additionnez et .
Étape 5.4.2.2.16
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.16.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.2.2.16.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.16.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.2.2.16.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.2.2.16.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.4.2.2.17
Réécrivez comme .
Étape 5.4.2.2.18
Multipliez par .
Étape 5.4.2.2.19
Associez et simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.19.1
Multipliez par .
Étape 5.4.2.2.19.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.2.2.19.3
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.2.2.19.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.4.2.2.19.5
Additionnez et .
Étape 5.4.2.2.19.6
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.19.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 5.4.2.2.19.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.4.2.2.19.6.3
Associez et .
Étape 5.4.2.2.19.6.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.19.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.2.2.19.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.4.2.2.19.6.5
Évaluez l’exposant.
Étape 5.4.2.2.20
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.20.1
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
Étape 5.4.2.2.20.2
Multipliez par .
Étape 5.4.3
Déterminez la projection de sur à l’aide de la formule de projection.
Étape 5.4.4
Remplacez par .
Étape 5.4.5
Remplacez par .
Étape 5.4.6
Remplacez par .
Étape 5.4.7
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.1
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.4.7.1.2
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.1.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 5.4.7.1.2.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.4.7.1.2.3
Associez et .
Étape 5.4.7.1.2.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.1.2.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.7.1.2.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.4.7.1.2.5
Évaluez l’exposant.
Étape 5.4.7.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.7.1.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.7.1.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.7.1.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.7.1.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.4.7.2
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 5.4.7.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.7.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.4.7.4
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 5.4.7.5
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.5.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.5.1.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 5.4.7.5.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.7.5.1.3
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.7.5.1.4
Réécrivez l’expression.
Étape 5.4.7.5.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.4.7.5.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.5.3.1
Multipliez par .
Étape 5.4.7.5.3.2
Multipliez par .
Étape 5.4.7.5.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.7.5.4.1
Multipliez par .
Étape 5.4.7.5.4.2
Multipliez par .
Étape 5.5
Remplacez les projections.
Étape 5.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.1
Associez chaque composant des vecteurs.
Étape 5.6.2
Associez chaque composant des vecteurs.
Étape 5.6.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.3.1
Multipliez par .
Étape 5.6.3.2
Multipliez par .
Étape 5.6.4
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.4.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.6.4.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.4.2.1
Additionnez et .
Étape 5.6.4.2.2
Divisez par .
Étape 5.6.5
Multipliez par .
Étape 5.6.6
Soustrayez de .
Étape 5.6.7
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 5.6.8
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.8.1
Multipliez par .
Étape 5.6.8.2
Multipliez par .
Étape 5.6.9
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.9.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.6.9.2
Soustrayez de .
Étape 5.6.10
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.10.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.6.10.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.10.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.6.10.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.6.10.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.6.11
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.6.12
Déterminez le dénominateur commun.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.12.1
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 5.6.12.2
Multipliez par .
Étape 5.6.12.3
Multipliez par .
Étape 5.6.12.4
Multipliez par .
Étape 5.6.12.5
Multipliez par .
Étape 5.6.12.6
Réorganisez les facteurs de .
Étape 5.6.12.7
Multipliez par .
Étape 5.6.13
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.6.14
Simplifiez en soustrayant des nombres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.14.1
Soustrayez de .
Étape 5.6.14.2
Soustrayez de .
Étape 5.6.15
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.15.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.6.15.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.15.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.6.15.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.6.15.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6
Déterminez la base orthonormale en divisant chaque vecteur orthogonal par sa norme.
Étape 7
Déterminez le vecteur unitaire .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur , divisez par la norme de .
Étape 7.2
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
Étape 7.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 7.3.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 7.3.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 7.3.4
Additionnez et .
Étape 7.3.5
Additionnez et .
Étape 7.4
Divisez le vecteur par sa norme.
Étape 7.5
Divisez chaque élément du vecteur par .
Étape 8
Déterminez le vecteur unitaire .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1
Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur , divisez par la norme de .
Étape 8.2
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
Étape 8.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.3.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.3.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 8.3.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 8.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.3
Multipliez par .
Étape 8.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.5
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.6
Appliquez la règle de produit à .
Étape 8.3.7
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 8.3.8
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.9
Appliquez la règle de produit à .
Étape 8.3.10
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 8.3.11
Élevez à la puissance .
Étape 8.3.12
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 8.3.13
Additionnez et .
Étape 8.3.14
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 8.3.15
Additionnez et .
Étape 8.3.16
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.3.16.1
Factorisez à partir de .
Étape 8.3.16.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.3.16.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 8.3.16.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 8.3.16.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 8.3.17
Réécrivez comme .
Étape 8.4
Divisez le vecteur par sa norme.
Étape 8.5
Divisez chaque élément du vecteur par .
Étape 8.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.6.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 8.6.2
Multipliez par .
Étape 8.6.3
Déplacez à gauche de .
Étape 8.6.4
Déplacez à gauche de .
Étape 8.6.5
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 8.6.6
Multipliez par .
Étape 8.6.7
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 8.6.8
Multipliez par .
Étape 9
Déterminez le vecteur unitaire .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur , divisez par la norme de .
Étape 9.2
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
Étape 9.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.3.2
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.2.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 9.3.2.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 9.3.3
Élevez à la puissance .
Étape 9.3.4
Multipliez par .
Étape 9.3.5
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 9.3.6
Élevez à la puissance .
Étape 9.3.7
Appliquez la règle de produit à .
Étape 9.3.8
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 9.3.9
Élevez à la puissance .
Étape 9.3.10
Additionnez et .
Étape 9.3.11
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 9.3.12
Additionnez et .
Étape 9.3.13
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.13.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.3.13.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.13.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.3.13.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.3.13.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.3.14
Réécrivez comme .
Étape 9.3.15
Toute racine de est .
Étape 9.4
Divisez le vecteur par sa norme.
Étape 9.5
Divisez chaque élément du vecteur par .
Étape 9.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.6.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 9.6.2
Multipliez par .
Étape 9.6.3
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 9.6.4
Associez et .
Étape 9.6.5
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 9.6.6
Associez et .
Étape 10
Remplacez les valeurs connues.
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