Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ , $(- 2, 2)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (x^{2} + x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $- 2$ et $y$ par $2$ dans $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Étape 4.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Étape 4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Étape 4.2.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

Étape 4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

Étape 4.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

Étape 4.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

Étape 4.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

Étape 4.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $- 8$ et $6$ .

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $\frac{2}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 2 + \frac{2}{3}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 4.3.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$K = \frac{6 + 2}{3}$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$K = \frac{8}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{8}{3}$ dans $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{8}{3}$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$

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