Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{4 y - 3}$ .

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $4 y - 3$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 4 y - 3$ . Alors $d u = 4 d y$ , donc $\frac{1}{4} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 4 y - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $4 y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 y - 3$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (| 4 y - 3 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $- 4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par $x^{4}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Étape 3.7.3

Simplifiez

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Étape 3.7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 3.7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Étape 3.7.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

Étape 3.7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{4 C} x^{4}$ .

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

Étape 3.7.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

Étape 3.7.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

Étape 3.7.4.3

Divisez chaque terme dans $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.7.4.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 3.7.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.7.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 3.7.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ .

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Étape 6.2.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $\frac{3}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

Étape 6.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

Étape 6.3.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 6.4

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$C = 1$

Étape 7

Remplacez $C$ par $1$ dans $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $1$ .

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 7.2

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

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