Calcul infinitésimal Exemples

$7 x^{2} + 3 x$ , $(1, 10)$

Étape 1

Écrivez $7 x^{2} + 3 x$ comme une fonction.

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Étape 2

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 2.1

Évaluez $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ sur $x = 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$f (1) = 7 + 3 (1)$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $7$ et $3$ .

$f (1) = 10$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 2.2

Comme $10 = 10$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 3

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Étape 4

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 5

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 5.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 5.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Étape 5.1.2.2

La réponse finale est $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.1

Déplacez $3 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

Étape 5.2.2

Déplacez $7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $14 h x$ et $7 h^{2}$ .

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Étape 5.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Étape 6

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Étape 7.1.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

Étape 7.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

Étape 7.1.4

Soustrayez $7 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Étape 7.1.5

Additionnez $7 h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Étape 7.1.6

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

Étape 7.1.7

Additionnez $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

Étape 7.1.8

Factorisez $h$ à partir de $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ .

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Étape 7.1.8.1

Factorisez $h$ à partir de $7 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

Étape 7.1.8.2

Factorisez $h$ à partir de $14 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

Étape 7.1.8.3

Factorisez $h$ à partir de $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

Étape 7.1.8.4

Factorisez $h$ à partir de $h (7 h) + h (14 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

Étape 7.1.8.5

Factorisez $h$ à partir de $h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $7 h + 14 x + 3$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

Étape 7.2.2

Remettez dans l’ordre $7 h$ et $14 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $14 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.3

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

Étape 9

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$14 x + 0 + 3$

Étape 10.2

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$14 x + 3$

Étape 11

Simplifiez $14 (1) + 3$ .

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Étape 11.1

Multipliez $14$ par $1$ .

$m = 14 + 3$

Étape 11.2

Additionnez $14$ et $3$ .

$m = 17$

Étape 12

La pente est $m = 17$ et le point central est $(1, 10)$ .

$m = 17, (1, 10)$

Étape 13

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 13.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 13.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (17) \cdot x + b$

Étape 13.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (17) \cdot (1) + b$

Étape 13.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$10 = (17) \cdot (1) + b$

Étape 13.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 13.5.1

Réécrivez l’équation comme $(17) \cdot (1) + b = 10$ .

$(17) \cdot (1) + b = 10$

Étape 13.5.2

Multipliez $17$ par $1$ .

$17 + b = 10$

Étape 13.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.5.3.1

Soustrayez $17$ des deux côtés de l’équation.

$b = 10 - 17$

Étape 13.5.3.2

Soustrayez $17$ de $10$ .

$b = - 7$

Étape 14

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 17 x - 7$

Étape 15

Saisissez VOTRE problème