Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ , $[- 3, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 1.2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{4} - 4 x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2}$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{2}$ .

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.4.2.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.4.2.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Étape 1.4.2.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$4 - 4 \cdot 2$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$4 - 8$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$- 4$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{2}$ .

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{4}$ par $1$ .

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 1.4.3.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 1.4.3.2.1.8

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.4.3.2.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.4.3.2.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.4.3.2.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.4.3.2.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Étape 1.4.3.2.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$4 - 4 \cdot 2$

Étape 1.4.3.2.1.10

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$4 - 8$

Étape 1.4.3.2.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$- 4$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

Étape 2.1.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$81 - 4 \cdot 9$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$81 - 36$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $36$ de $81$ .

$45$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$256 - 4 {(4)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$256 - 4 \cdot 16$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$256 - 64$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $64$ de $256$ .

$192$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, 45), (4, 192)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(4, 192)$

Minimum absolu : $(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Étape 4

Saisissez VOTRE problème