Algèbre Exemples

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 5.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Étape 5.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 5.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Étape 5.3.7

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 5.3.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.3.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 + 1, 0)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(1, 0)$

Étape 6.4

Le deuxième sommet d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (1), 0)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- 1, 0)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Étape 7.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

Étape 7.6

Simplifiez

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Divisez $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 8.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 8.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 8.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 8.3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Étape 8.3.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 8.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Étape 8.3.8

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 8.3.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 8.3.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 8.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10

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