Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 1

Factorisez $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 1.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Étape 1.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Étape 1.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 + 1 - 6$

Étape 1.1.3.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$5 + 1 - 6$

Étape 1.1.3.6

Additionnez $5$ et $1$ .

$6 - 6$

Étape 1.1.3.7

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Étape 1.1.5

Divisez $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ par $x - 1$ .

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Étape 1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Étape 1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Étape 1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Étape 1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Étape 1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Étape 1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Étape 1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Étape 1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x - 6$

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Étape 1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Étape 1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 5 x + 6$

Étape 1.1.6

Écrivez $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Étape 4.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$f (x) = x - 1$

Étape 5

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x + 2, x + 3$

Étape 6

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $x - 1$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.3

Remplacez $x$ par $- 2$ dans $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Remplacez $x$ par $- 2$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$- 2 - 1$

Étape 6.3.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$- 3$

Étape 6.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6.6

Remplacez $x$ par $- 3$ dans $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 6.6.1

Remplacez $x$ par $- 3$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$- 3 - 1$

Étape 6.6.2

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$- 4$

Étape 6.7

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Étape 7

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