Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 7$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{2} - 7}{x - 7}$ an mit $x = 7$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$7$	$2$	$0$	$- 7$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(7)$ und schreibe das Ergebnis von $(14)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$	$14$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(14)$ mit dem Divisor $(7)$ und schreibe das Ergebnis von $(98)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$	$91$

Schritt 2.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(2) x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

Schritt 2.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

Schritt 3

Da $7 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $7$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $7$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{2} - 7}{x + 7}$ an mit $x = - 7$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 14)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$	$- 14$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 14)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(98)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$	$91$

Schritt 4.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(2) x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

Schritt 4.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

Schritt 5

Da $- 7 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 7$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 7$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{2} - 7}{x - \frac{7}{2}}$ an mit $x = \frac{7}{2}$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{7}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$	$7$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(7)$ mit dem Divisor $(\frac{7}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{49}{2})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$	$\frac{35}{2}$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(2) x + 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x - \frac{7}{2}}$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x + 7 + \frac{35}{2 x - 7}$

Schritt 7

Da $\frac{7}{2} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{7}{2}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{7}{2}$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{2} - 7}{x + \frac{7}{2}}$ an mit $x = - \frac{7}{2}$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- \frac{7}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$	$- 7$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 7)$ mit dem Divisor $(- \frac{7}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{49}{2})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{35}{2}$

Schritt 8.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(2) x - 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x + \frac{7}{2}}$

Schritt 8.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x - 7 + \frac{35}{2 x + 7}$

Schritt 9

Da $- \frac{7}{2} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{7}{2}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{7}{2}$

Schritt 10

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $7, \frac{7}{2}$

Untere Schranken: $- 7, - \frac{7}{2}$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein