Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $12$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 2$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\sqrt{4 - 3}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 5.3.3.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + 2)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(0, 2)$

Schritt 6.4

Der zweite Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (2))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(0, - 2)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + 1)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(0, 1)$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (1))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(0, - 1)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

Schritt 8.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

Schritt 8.3.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

Exzentrizität: $\frac{1}{2}$

Schritt 10

Gib DEINE Aufgabe ein