Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

Schritt 2

Berechne das Skalarprodukt von $[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ und $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{2}$ .

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + 0 - 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 1$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 3

Berechne das Skalarprodukt von $[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ und $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $0 (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{2}$ .

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + 0 - 1$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 1$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 4

Berechne das Skalarprodukt von $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ und $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Schritt 4.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 - 2 + 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 5

Die Vektoren sind orthogonal, da alle Skalarprodukte $0$ sind.

orthogonal

Gib DEINE Aufgabe ein