Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

Die Dimension des Nullraums ist das Gleiche wie die Anzahl freier Variablen im System nach Reduzierung der Zeilenzahl. Die freien Variablen sind die Spalten ohne Pivotpositionen.

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]$

Schritt 2.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 6 - 4 (\frac{2}{3}) \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{10}{3} \end{array}]$

Schritt 2.3

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{3}{10}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{3}{10}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{10} \cdot 0 & \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Die Pivot-Positionen sind die Stellen mit der führenden $1$ in jeder Zeile. Die Pivot-Spalten sind die Spalten, die eine Pivot-Position haben.

Pivot-Positionen: $a_{11}$ und $a_{22}$

Pivot-Spalten: $1$ und $2$

Schritt 4

Die Dimension des Kerns ist die Anzahl der Zeilen ohne Pivot-Position in der Matrix mit Zeilenstufenform.

$0$

Gib DEINE Aufgabe ein