Lineare Algebra Beispiele

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a + 3 b - 6 c \\ 2 a + b + c \\ a + 5 b + c \end{array}]$

Schritt 1

Die Transformation definiert eine Abbildung von $ℝ^{3}$ auf $ℝ^{3}$ . Um zu beweisen, dass die Transformation linear ist, muss die Transformation skalare Multiplikation, Addition und den Nullvektor bewahren.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Schritt 2

Beweise zunächst, dass die Transformation diese Eigenschaft erhält.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Schritt 3

Stelle zwei Matrizen auf, um den Erhalt der Additionseigenschaft für $S$ zu testen.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Schritt 4

Addiere die zwei Matrizen.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 5

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 6.1

Stelle $x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})$ um.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 6.2

Stelle $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ um.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 6.3

Stelle $x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ um.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 7

Spalte das Ergebnis durch Gruppieren der Variablen in zwei Matrizen.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 8

Die Additionseigenschaft der Transformation gilt.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Schritt 9

Damit eine Transformation linear ist, muss die skalare Multiplikation bei der Transformation erhalten bleiben.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Schritt 10

Faktorisiere die $p$ aus jedem Element.

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Schritt 10.1

Multipliziere $p$ mit jedem Element in der Matrix.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Schritt 10.2

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) + 3 (p b) - 6 (p c) \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Schritt 10.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 10.3.1

Stelle $(p a) + 3 (p b) - 6 (p c)$ um.

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Schritt 10.3.2

Stelle $2 (p a + p b + p c)$ um.

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Schritt 10.3.3

Stelle $(p a) + 5 (p b) + p c$ um.

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Schritt 10.4

Faktorisiere jedes Element der Matrix.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere Element $0, 0$ , indem du $a p + 3 b p - 6 c p$ multiplizierst.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Schritt 10.4.2

Faktorisiere Element $1, 0$ , indem du $2 a p + 2 b p + 2 c p$ multiplizierst.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Schritt 10.4.3

Faktorisiere Element $2, 0$ , indem du $a p + 5 b p + c p$ multiplizierst.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

Schritt 11

Die zweite Eigenschaft einer linearen Transformation bleibt bei dieser Transformation erhalten.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Schritt 12

Damit die Transformation linear ist, muss der Nullvektor erhalten bleiben.

$S (0) = 0$

Schritt 13

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Schritt 14

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 14.1

Stelle $(0) + 3 (0) - 6 \cdot 0$ um.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Schritt 14.2

Stelle $2 (0) + 0 + 0$ um.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Schritt 14.3

Stelle $(0) + 5 (0) + 0$ um.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 15

Der Nullvektor bleibt bei der Transformation erhalten.

$S (0) = 0$

Schritt 16

Da alle drei Eigenschaften linearer Transformationen nicht gegeben sind, ist dies keine lineare Transformation.

Lineare Transformation

Gib DEINE Aufgabe ein