Analysis Beispiele

$f (x) = x + 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x + 5$ als Gleichung.

$y = x + 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y + 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y + 5 = x$ um.

$y + 5 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 5$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x - 5$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x - 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x + 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (x + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x + 5) = (x + 5) - 5$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(x + 5) - 5$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} (x + 5) = x + 0$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (x + 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x - 5) = (x - 5) + 5$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(x - 5) + 5$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (x - 5) = x + 0$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x - 5) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x - 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = x + 5$ .

$f^{- 1} (x) = x - 5$

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