Analysis Beispiele

$y = x^{\ln (x)}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Schritt 2

Erweitere die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln (x^{\ln (x)})$ durch Herausziehen von $\ln (x)$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Schritt 2.2

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Schritt 2.3

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Schritt 3.2.4.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ und $x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{\ln (x)}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ heraus.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Schritt 5.2.2.5

Dividiere $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ durch $1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ um.

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

Gib DEINE Aufgabe ein