Analysis Beispiele

$y = x^{4} + 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{4} + 8)$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 8$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{4}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$4 x^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$4 x^{3} x' + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$4 x^{3} x' + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $4 x^{3} x'$ und $0$ .

$4 x^{3} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 4 x^{3} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{3} x' = 1$ um.

$4 x^{3} x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} x' = 1$ durch $4 x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} x' = 1$ durch $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} x'}{4 x^{3}} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3} x'}{4 x^{3}} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{4 x^{3}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Gib DEINE Aufgabe ein