Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.4.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ und $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Schritt 2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 3.02727941$

Schritt 3

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 3.02727941)$ in die erste Ableitung $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(3.02727941, \infty)$ in die erste Ableitung $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 864$ und $432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 432$ und $1$ .

$f' (6) = - 431$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 431$ .

$- 431$

Schritt 6

Da die erste Ableitung um $x = 3.02727941$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt, gibt es einen Wendepunkt in $x = 3.02727941$ .

Schritt 7

Ermittle die y-Koordinate von $3.02727941$ um den Wendepunkt zu finden.

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Schritt 7.1

Ermittle $f (3.02727941)$ um die y-Koordinate von $3.02727941$ zu finden.

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Schritt 7.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.02727941$ .

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Schritt 7.1.2

Vereinfache $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

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Schritt 7.1.2.1

Entferne die Klammern.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Schritt 7.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.2.2.1

Potenziere $3.02727941$ mit $3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Schritt 7.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Schritt 7.1.2.2.3

Potenziere $3.02727941$ mit $4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Schritt 7.1.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Schritt 7.1.2.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.1.2.3.1

Subtrahiere $83.98660555$ von $110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Schritt 7.1.2.3.2

Addiere $26.98644204$ und $3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Schritt 7.1.2.3.3

Addiere $30.01372146$ und $5$ .

$35.01372146$

Schritt 7.2

Schreibe die $x$ und $y$ Koordination in Punktform.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Schritt 8

Gib DEINE Aufgabe ein