Algebra Beispiele

$(- 1, - 2)$ , $(2, - 2)$ , $(4, - 2)$

Schritt 1

Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Ellipse.

Horizontale Ellipsengleichung $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vertikale Ellipsengleichung $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 2

$a$ ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt $(4, - 2)$ und dem Mittelpunkt $(- 1, - 2)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$a = \sqrt{25 + 0^{2}}$

Schritt 2.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a = \sqrt{25 + 0}$

Schritt 2.3.7

Addiere $25$ und $0$ .

$a = \sqrt{25}$

Schritt 2.3.8

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$a = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 2.3.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = 5$

Schritt 3

$c$ ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt $(2, - 2)$ und dem Mittelpunkt $(- 1, - 2)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Schritt 3.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Schritt 3.3.7

Addiere $9$ und $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Schritt 3.3.8

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$c = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.3.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$c = 3$

Schritt 4

Wir benutzen die Gleichung $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Setze $5$ für $a$ und $3$ für $c$ ein.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als ${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ um.

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$25 - b^{2} = 3^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$25 - b^{2} = 9$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- b^{2} = 9 - 25$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $25$ von $9$ .

$- b^{2} = - 16$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - 16$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - 16$ durch $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2

Dividiere $b^{2}$ durch $1$ .

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Dividiere $- 16$ durch $- 1$ .

$b^{2} = 16$

Schritt 4.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$b = \pm \sqrt{16}$

Schritt 4.7

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 4.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$b = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$b = \pm 4$

Schritt 4.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = 4$

Schritt 4.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - 4$

Schritt 4.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = 4, - 4$

Schritt 5

$b$ ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.

$b = 4$

Schritt 6

Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt $(2, - 2)$ und dem Mittelpunkt $(- 1, - 2)$ bestimmt, ob die Ellipse vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich $0$ ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.

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Schritt 6.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von $y$ dividiert durch die Änderung von $x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 6.2

Die Änderung von $x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von $y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 6.3

Setze die Werte von $x$ und $y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 2}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Schritt 6.4.3

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$m = 0$

Schritt 6.5

Die allgemeine Gleichung für eine horizontale Ellipse ist $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 7

Setze die Werte $h = - 1$ , $k = - 2$ , $a = 5$ und $b = 4$ in $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ ein, um die Ellipsengleichung $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$ zu erhalten.

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Schritt 8

Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Ellipse zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Schritt 8.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1$

Schritt 8.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein