حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

خطوة 1

جذر متوسط المربع للدالة $f$ على مدى الفترة المحددة $[a, b]$ هو الجذر التربيعي للمتوسط الحسابي (المتوسط) لمربعات القيم الأصلية.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

خطوة 2

عوّض بالقيم الفعلية في صيغة جذر متوسط المربع لدالة.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

خطوة 3

احسِب قيمة التكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لنفترض أن $u = 4 x - 2$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

افترض أن $u = 4 x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

خطوة 3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 3.1.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 3.1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 4 x - 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

خطوة 3.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

خطوة 3.1.3.2

اطرح $2$ من $4$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 3.1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 4 x - 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

خطوة 3.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

اضرب $4$ في $3$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

خطوة 3.1.5.2

اطرح $2$ من $12$ .

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

خطوة 3.2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 3.3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

خطوة 3.5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $10$ وفي $2$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ارفع $10$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 3.5.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $1000$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 3.5.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

خطوة 3.5.2.4

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

خطوة 3.5.2.5

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

خطوة 3.5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

خطوة 3.5.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

خطوة 3.5.2.8

اطرح $8$ من $1000$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

خطوة 3.5.2.9

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{992}{3}$ .

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.10

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{992}{12}$

خطوة 3.5.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $992$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.1

أخرِج العامل $4$ من $992$ .

$\frac{4 (248)}{12}$

خطوة 3.5.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{248}{3}$

خطوة 4

بسّط قاعدة جذر متوسط المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{3 - 1}$ في $\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

خطوة 4.2

اطرح $1$ من $3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.3

اختزِل العبارة $\frac{248}{2 \cdot 3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $248$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{124}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة $124$ بالصيغة $2^{2} \cdot 31$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

أخرِج العامل $4$ من $124$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.6

اضرب $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

خطوة 4.8.2

اضرب $3$ في $31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

الصيغة العشرية:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

خطوة 6

إدخال مسألتك