حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{4} - 10 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $5$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} x^{2}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 10$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x^{3} - 20 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 20 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 20$ في $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $60 x^{2} - 20$ .

$60 x^{2} - 20$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $60 x^{2} - 20 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$60 x^{2} - 20 = 0$

خطوة 2.2

أضف $20$ إلى كلا المتعادلين.

$60 x^{2} = 20$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $60 x^{2} = 20$ على $60$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $60 x^{2} = 20$ على $60$ .

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $60$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{20}{60}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $60$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $20$ من $20$ .

$x^{2} = \frac{20 (1)}{60}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $20$ من $60$ .

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

خطوة 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

خطوة 2.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.5.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 2.5.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 2.5.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 2.5.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.5.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 2.5.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.5.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.5.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 2.5.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{\sqrt{3}}{3}$ في $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{4}$ بالصيغة $3^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $9$ من $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.5

اجمع $5$ و $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.1.7

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.1.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.1.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.1.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.1.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.1.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

خطوة 3.1.2.1.9

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.9.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

خطوة 3.1.2.1.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.9.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.1.2.1.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.1.2.1.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

خطوة 3.1.2.1.10

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

خطوة 3.1.2.1.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

خطوة 3.1.2.2

لكتابة $- \frac{10}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اضرب $\frac{10}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.1.2.3.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

خطوة 3.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اضرب $- 10$ في $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

خطوة 3.1.2.5.2

اطرح $30$ من $5$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

خطوة 3.1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

خطوة 3.1.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{25}{9}$ .

$- \frac{25}{9}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ في $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ هي $(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ في $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

اضرب $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ في $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{4}$ بالصيغة $3^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.6.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.6.2.1

أخرِج العامل $9$ من $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.7

اجمع $5$ و $\frac{1}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.8

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.8.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.8.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

خطوة 3.3.2.1.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

خطوة 3.3.2.1.10

اضرب $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.11

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.11.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.11.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.11.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.11.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.11.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.11.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.12

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

خطوة 3.3.2.1.13

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.13.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

خطوة 3.3.2.1.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.13.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.1.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.1.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

خطوة 3.3.2.1.14

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

خطوة 3.3.2.1.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $- \frac{10}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اضرب $\frac{10}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.3.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $- 10$ في $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

خطوة 3.3.2.5.2

اطرح $30$ من $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

خطوة 3.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

خطوة 3.3.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{25}{9}$ .

$- \frac{25}{9}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ في $f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ هي $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.67735026$ في العبارة.

$f'' (- 0.67735026) = 60 {(- 0.67735026)}^{2} - 20$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 0.67735026$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $60$ في $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 27.52820323 - 20$

خطوة 5.2.2

اطرح $20$ من $27.52820323$ .

$f'' (- 0.67735026) = 7.52820323$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $7.52820323$ .

$7.52820323$

خطوة 5.3

في $- 0.67735026$ ، المشتق الثاني هو $7.52820323$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 20$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 20$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $60$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 20$

خطوة 6.2.2

اطرح $20$ من $0$ .

$f'' (0) = - 20$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 20$ .

$- 20$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0$ يساوي $- 20$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

تناقص خلال $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.67735026$ في العبارة.

$f'' (0.67735026) = 60 {(0.67735026)}^{2} - 20$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.67735026$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $60$ في $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 27.52820323 - 20$

خطوة 7.2.2

اطرح $20$ من $27.52820323$ .

$f'' (0.67735026) = 7.52820323$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $7.52820323$ .

$7.52820323$

خطوة 7.3

في $0.67735026$ ، المشتق الثاني هو $7.52820323$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

خطوة 9

إدخال مسألتك