三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 12 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Step 1

求 $c$ 。

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角的正弦等于对边和斜边之比。

$\sin (B) = \frac{opp}{hyp}$

将每一边的名字代入正弦函数的定义中。

$\sin (B) = \frac{b}{c}$

建立一个方程以求解斜边，在本例中，即 $c$ 。

$c = \frac{b}{\sin (B)}$

将每一个变量的值代入正弦公式。

$c = \frac{12}{\sin (60)}$

将分子乘以分母的倒数。

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

合并和化简分母。

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将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

重写表达式。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

计算指数。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

约去 $3$ 的公因数。

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从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$c = 3 (4) (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

约去公因数。

$c = 3 \cdot (4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3}))$

重写表达式。

$c = 4 (2 \sqrt{3})$

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$c = 8 \sqrt{3}$

Step 2

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

求解 $a$ 的方程。

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

将实际值代入方程中。

$a = \sqrt{{(8 \sqrt{3})}^{2} - {(12)}^{2}}$

化简表达式。

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对 $8 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{8^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{64 {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$a = \sqrt{64 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(12)}^{2}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(12)}^{2}}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$a = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$a = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

重写表达式。

$a = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

计算指数。

$a = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

化简表达式。

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将 $64$ 乘以 $3$ 。

$a = \sqrt{192 - {(12)}^{2}}$

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{192 - 1 \cdot 144}$

将 $- 1$ 乘以 $144$ 。

$a = \sqrt{192 - 144}$

从 $192$ 中减去 $144$ 。

$a = \sqrt{48}$

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$a = \sqrt{16 (3)}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$a = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

从根式下提出各项。

$a = 4 \sqrt{3}$

Step 3

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 4 \sqrt{3}$

$b = 12$

$c = 8 \sqrt{3}$

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