三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 5 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Step 1

求 $b$ 。

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角的余弦等于邻边和斜边之比。

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

将每一边的名字代入余弦函数的定义中。

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

建立方程式以求解邻边，在本例中为 $b$ 。

$b = c \cdot \cos (A)$

将每一个变量的值代入余弦公式。

$b = 5 \cdot \cos (30)$

组合 $5$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$b = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

Step 2

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

求解 $a$ 的方程。

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

将实际值代入方程中。

$a = \sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{25 - {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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对 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{25 - \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}}$

对 $5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{25 - \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

化简分子。

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对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{25 - \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$a = \sqrt{25 - \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a = \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$a = \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$a = \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

重写表达式。

$a = \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

计算指数。

$a = \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

化简表达式。

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对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 3}{4}}$

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$a = \sqrt{25 - \frac{75}{4}}$

要将 $25$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$a = \sqrt{25 \cdot \frac{4}{4} - \frac{75}{4}}$

组合 $25$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$a = \sqrt{\frac{25 \cdot 4}{4} - \frac{75}{4}}$

在公分母上合并分子。

$a = \sqrt{\frac{25 \cdot 4 - 75}{4}}$

化简分子。

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将 $25$ 乘以 $4$ 。

$a = \sqrt{\frac{100 - 75}{4}}$

从 $100$ 中减去 $75$ 。

$a = \sqrt{\frac{25}{4}}$

将 $\sqrt{\frac{25}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ 。

$a = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

化简分子。

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将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$a = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = \frac{5}{\sqrt{4}}$

化简分母。

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将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$a = \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = \frac{5}{2}$

Step 3

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = \frac{5}{2}$

$b = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

$c = 5$

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