三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 6 \\ c = & 10 \\ a = & 8 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Step 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Step 2

求解方程。

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Step 3

将已知值代入方程中。

$A = \arccos (\frac{{(6)}^{2} + {(10)}^{2} - {(8)}^{2}}{2 (6) (10)})$

Step 4

化简结果。

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化简分子。

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对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{36 + 10^{2} - 8^{2}}{2 (6) \cdot 10})$

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{36 + 100 - 8^{2}}{2 (6) \cdot 10})$

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{36 + 100 - 1 \cdot 64}{2 (6) \cdot 10})$

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$A = \arccos (\frac{36 + 100 - 64}{2 (6) \cdot 10})$

将 $36$ 和 $100$ 相加。

$A = \arccos (\frac{136 - 64}{2 (6) \cdot 10})$

从 $136$ 中减去 $64$ 。

$A = \arccos (\frac{72}{2 (6) \cdot 10})$

化简分母。

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将 $2$ 乘以 $6$ 。

$A = \arccos (\frac{72}{12 \cdot 10})$

将 $12$ 乘以 $10$ 。

$A = \arccos (\frac{72}{120})$

约去 $72$ 和 $120$ 的公因数。

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从 $72$ 中分解出因数 $24$ 。

$A = \arccos (\frac{24 (3)}{120})$

约去公因数。

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从 $120$ 中分解出因数 $24$ 。

$A = \arccos (\frac{24 \cdot 3}{24 \cdot 5})$

约去公因数。

$A = \arccos (\frac{24 \cdot 3}{24 \cdot 5})$

重写表达式。

$A = \arccos (\frac{3}{5})$

计算 $\arccos (\frac{3}{5})$ 。

$A = 53.13010235$

Step 5

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Step 6

求解方程。

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Step 7

将已知值代入方程中。

$B = \arccos (\frac{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - {(6)}^{2}}{2 (8) (10)})$

Step 8

化简结果。

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化简分子。

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对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{64 + 10^{2} - 6^{2}}{2 (8) \cdot 10})$

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{64 + 100 - 6^{2}}{2 (8) \cdot 10})$

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{64 + 100 - 1 \cdot 36}{2 (8) \cdot 10})$

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$B = \arccos (\frac{64 + 100 - 36}{2 (8) \cdot 10})$

将 $64$ 和 $100$ 相加。

$B = \arccos (\frac{164 - 36}{2 (8) \cdot 10})$

从 $164$ 中减去 $36$ 。

$B = \arccos (\frac{128}{2 (8) \cdot 10})$

化简分母。

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将 $2$ 乘以 $8$ 。

$B = \arccos (\frac{128}{16 \cdot 10})$

将 $16$ 乘以 $10$ 。

$B = \arccos (\frac{128}{160})$

约去 $128$ 和 $160$ 的公因数。

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从 $128$ 中分解出因数 $32$ 。

$B = \arccos (\frac{32 (4)}{160})$

约去公因数。

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从 $160$ 中分解出因数 $32$ 。

$B = \arccos (\frac{32 \cdot 4}{32 \cdot 5})$

约去公因数。

$B = \arccos (\frac{32 \cdot 4}{32 \cdot 5})$

重写表达式。

$B = \arccos (\frac{4}{5})$

计算 $\arccos (\frac{4}{5})$ 。

$B = 36.86989764$

Step 9

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$53.13010235 + C + 36.86989764 = 180$

Step 10

求解 $C$ 的方程。

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将 $53.13010235$ 和 $36.86989764$ 相加。

$C + 90 = 180$

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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从等式两边同时减去 $90$ 。

$C = 180 - 90$

从 $180$ 中减去 $90$ 。

$C = 90$

Step 11

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 53.13010235$

$B = 36.86989764$

$C = 90$

$a = 8$

$b = 6$

$c = 10$

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