三角学示例

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$ 。

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - x = 0$

解题步骤 2.3

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 y) - x = 0$

解题步骤 2.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$\cos (2 y) = x$

解题步骤 2.4.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$2 y = \arccos (x)$

解题步骤 2.4.3

将 $2 y = \arccos (x)$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $2 y = \arccos (x)$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

解题步骤 2.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

解题步骤 2.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ 是否为 $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ 。

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))}{2}$

解题步骤 4.2.3

使用余弦倍角公式。

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ 。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

解题步骤 4.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 和 $b = \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

运用分配律。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.4.2

运用分配律。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.4.3

运用分配律。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5

化简项。

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解题步骤 4.3.5.1

合并 $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.5.1.1

按照 $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ 和 $\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 重新排列因数。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5.1.2

将 $- \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 和 $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 相加。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + 0 + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5.1.3

将 $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.5.2.1

乘以 $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 。

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解题步骤 4.3.5.2.1.1

对 $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5.2.1.2

对 $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = {\cos (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1} + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$

解题步骤 4.3.5.2.3

乘以 $- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 。

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解题步骤 4.3.5.2.3.1

对 $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5.2.3.2

对 $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.5.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - {\sin (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1}$

解题步骤 4.3.5.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

解题步骤 4.3.6

使用余弦倍角公式。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1

约去公因数。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

解题步骤 4.3.7.2

重写表达式。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

解题步骤 4.3.8

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ 为 $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

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