三角学示例

$\sin (x) < \frac{1}{2}$

Step 1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x < \arcsin (\frac{1}{2})$

Step 2

化简右边。

点击获取更多步骤...

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x < \frac{π}{6}$

Step 3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

Step 4

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

点击获取更多步骤...

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

合并分数。

点击获取更多步骤...

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

化简分子。

点击获取更多步骤...

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

Step 5

求 $\sin (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

Step 6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 7

使用每一个根建立验证区间。

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$

Step 8

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

点击获取更多步骤...

检验区间 $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

选择区间 $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\sin (2) < \frac{1}{2}$

左边的 $0.90929742$ 不小于右边的 $0.5$ ，即给定的命题是假命题。

False

检验区间 $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

选择区间 $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 5$

使用原不等式中的 $5$ 替换 $x$ 。

$\sin (5) < \frac{1}{2}$

左边的 $- 0.95892427$ 小于右边的 $0.5$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

检验区间 $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ 上的值是否使不等式成立。

点击获取更多步骤...

选择区间 $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 8$

使用原不等式中的 $8$ 替换 $x$ 。

$\sin (8) < \frac{1}{2}$

左边的 $0.98935824$ 不小于右边的 $0.5$ ，即给定的命题是假命题。

False

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ 为假

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ 为真

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ 为假

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ 为假

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ 为真

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ 为假

Step 9

解由使等式成立的所有区间组成。

$\frac{5 π}{6} + 2 π n < x < \frac{13 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 10

三角学 示例

三角学示例