统计学示例

$1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$

Step 1

求平均值。

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一组数的平均值为其总和除以其个数。

$\overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9}{9}$

化简分子。

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将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\overline{x} = \frac{3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9}{9}$

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\overline{x} = \frac{6 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9}{9}$

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$\overline{x} = \frac{10 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9}{9}$

将 $10$ 和 $5$ 相加。

$\overline{x} = \frac{15 + 6 + 7 + 8 + 9}{9}$

将 $15$ 和 $6$ 相加。

$\overline{x} = \frac{21 + 7 + 8 + 9}{9}$

将 $21$ 和 $7$ 相加。

$\overline{x} = \frac{28 + 8 + 9}{9}$

将 $28$ 和 $8$ 相加。

$\overline{x} = \frac{36 + 9}{9}$

将 $36$ 和 $9$ 相加。

$\overline{x} = \frac{45}{9}$

用 $45$ 除以 $9$ 。

$\overline{x} = 5$

Step 2

化简列表中的每一个值。

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把 $1$ 转化成含小数位的数值。

$1$

把 $2$ 转化成含小数位的数值。

$2$

把 $3$ 转化成含小数位的数值。

$3$

把 $4$ 转化成含小数位的数值。

$4$

把 $5$ 转化成含小数位的数值。

$5$

把 $6$ 转化成含小数位的数值。

$6$

把 $7$ 转化成含小数位的数值。

$7$

把 $8$ 转化成含小数位的数值。

$8$

把 $9$ 转化成含小数位的数值。

$9$

化简值为 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 。

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

Step 3

建立样本标准差公式。一组数值的标准差是对数值分布情况的量度。

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Step 4

建立此数集的标准差公式。

$s = \sqrt{\frac{{(1 - 5)}^{2} + {(2 - 5)}^{2} + {(3 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

Step 5

化简结果。

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化简表达式。

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从 $1$ 中减去 $5$ 。

$s = \sqrt{\frac{{(- 4)}^{2} + {(2 - 5)}^{2} + {(3 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{16 + {(2 - 5)}^{2} + {(3 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$s = \sqrt{\frac{16 + {(- 3)}^{2} + {(3 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + {(3 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + {(4 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + {(- 1)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + {(5 - 5)}^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0^{2} + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0 + {(6 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

从 $6$ 中减去 $5$ 。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

一的任意次幂都为一。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + {(7 - 5)}^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

从 $7$ 中减去 $5$ 。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 2^{2} + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + {(8 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 3^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + {(9 - 5)}^{2}}{9 - 1}}$

从 $9$ 中减去 $5$ 。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 4^{2}}{9 - 1}}$

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \sqrt{\frac{16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16}{9 - 1}}$

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{25 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16}{9 - 1}}$

将 $25$ 和 $4$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{29 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16}{9 - 1}}$

将 $29$ 和 $1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{30 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16}{9 - 1}}$

将 $30$ 和 $0$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{30 + 1 + 4 + 9 + 16}{9 - 1}}$

将 $30$ 和 $1$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{31 + 4 + 9 + 16}{9 - 1}}$

将 $31$ 和 $4$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{35 + 9 + 16}{9 - 1}}$

将 $35$ 和 $9$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{44 + 16}{9 - 1}}$

将 $44$ 和 $16$ 相加。

$s = \sqrt{\frac{60}{9 - 1}}$

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$s = \sqrt{\frac{60}{8}}$

约去 $60$ 和 $8$ 的公因数。

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从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$s = \sqrt{\frac{4 (15)}{8}}$

约去公因数。

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从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$s = \sqrt{\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 2}}$

约去公因数。

$s = \sqrt{\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 2}}$

重写表达式。

$s = \sqrt{\frac{15}{2}}$

将 $\sqrt{\frac{15}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}$

将 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

合并和化简分母。

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将 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

重写表达式。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{2}$

计算指数。

$s = \frac{\sqrt{15} \sqrt{2}}{2}$

化简分子。

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使用根数乘积法则进行合并。

$s = \frac{\sqrt{15 \cdot 2}}{2}$

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$s = \frac{\sqrt{30}}{2}$

Step 6

标准差应四舍五入为比原始数据多一个小数位数。如果原始数据是混合数据，则应四舍五入至比最低精度多一个小数位数。

$2.7$

统计学 示例

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