初级微积分示例

$2 y - 3 = \sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12}$

Step 1

因为根式位于方程的右边，所以要交换两边以便使其位于方程的左边。

$\sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12} = 2 y - 3$

Step 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12}}^{2} = {(2 y - 3)}^{2}$

Step 3

化简方程的两边。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12}$ 重写成 ${(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 3)}^{2}$

化简左边。

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化简 ${({(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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将 ${({(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 3)}^{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

${(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 3)}^{2}$

重写表达式。

${(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{1} = {(2 y - 3)}^{2}$

化简。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = {(2 y - 3)}^{2}$

化简右边。

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化简 ${(2 y - 3)}^{2}$ 。

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将 ${(2 y - 3)}^{2}$ 重写为 $(2 y - 3) (2 y - 3)$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = (2 y - 3) (2 y - 3)$

使用 FOIL 方法展开 $(2 y - 3) (2 y - 3)$ 。

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运用分配律。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3)$

运用分配律。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y - 3)$

运用分配律。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

化简并合并同类项。

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化简每一项。

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使用乘法的交换性质重写。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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移动 $y$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} - 6 y - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} - 6 y - 6 y - 3 \cdot - 3$

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} - 6 y - 6 y + 9$

从 $- 6 y$ 中减去 $6 y$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} - 12 y + 9$

Step 4

求解 $y$ 。

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将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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从等式两边同时减去 $4 y^{2}$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 - 4 y^{2} = - 12 y + 9$

在等式两边都加上 $12 y$ 。

$3 y^{2} - 10 y + 12 - 4 y^{2} + 12 y = 9$

从 $3 y^{2}$ 中减去 $4 y^{2}$ 。

$- y^{2} - 10 y + 12 + 12 y = 9$

将 $- 10 y$ 和 $12 y$ 相加。

$- y^{2} + 2 y + 12 = 9$

从等式两边同时减去 $9$ 。

$- y^{2} + 2 y + 12 - 9 = 0$

从 $12$ 中减去 $9$ 。

$- y^{2} + 2 y + 3 = 0$

对方程左边进行因式分解。

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从 $- y^{2} + 2 y + 3$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (y^{2}) + 2 y + 3 = 0$

从 $2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (y^{2}) - (- 2 y) + 3 = 0$

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$- (y^{2}) - (- 2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

从 $- (y^{2}) - (- 2 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (y^{2} - 2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

从 $- (y^{2} - 2 y) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (y^{2} - 2 y - 3) = 0$

因数。

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使用 AC 法来对 $y^{2} - 2 y - 3$ 进行因式分解。

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思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

使用这些整数书写分数形式。

$- ((y - 3) (y + 1)) = 0$

去掉多余的括号。

$- (y - 3) (y + 1) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

将 $y - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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将 $y - 3$ 设为等于 $0$ 。

$y - 3 = 0$

在等式两边都加上 $3$ 。

$y = 3$

将 $y + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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将 $y + 1$ 设为等于 $0$ 。

$y + 1 = 0$

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = - 1$

最终解为使 $- (y - 3) (y + 1) = 0$ 成立的所有值。

$y = 3, - 1$

Step 5

排除不能使 $2 y - 3 = \sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12}$ 成立的解。

$y = 3$

初级微积分 示例

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