初级微积分示例

$2 x - 8 \geq - 3 x^{2}$

Step 1

在不等式两边同时加上 $3 x^{2}$ 。

$2 x - 8 + 3 x^{2} \geq 0$

Step 2

把不等式转换成方程。

$2 x - 8 + 3 x^{2} = 0$

Step 3

分组因式分解。

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重新排序项。

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

把 $2$ 重写为 $- 4$ 加 $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

运用分配律。

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

从每组中因式分解出最大公因数。

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将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 4$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Step 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Step 5

将 $3 x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $3 x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 4 = 0$

求解 $x$ 的 $3 x - 4 = 0$ 。

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在等式两边都加上 $4$ 。

$3 x = 4$

将 $3 x = 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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将 $3 x = 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

化简左边。

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约去 $3$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{3}$

Step 6

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

Step 7

最终解为使 $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Step 8

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Step 9

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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检验区间 $x < - 2$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $x < - 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$2 (- 4) - 8 \geq - 3 {(- 4)}^{2}$

左边的 $- 16$ 大于右边的 $- 48$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

检验区间 $- 2 < x < \frac{4}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $- 2 < x < \frac{4}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$2 (0) - 8 \geq - 3 {(0)}^{2}$

左边的 $- 8$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

检验区间 $x > \frac{4}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $x > \frac{4}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$2 (4) - 8 \geq - 3 {(4)}^{2}$

左边的 $0$ 大于右边的 $- 48$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 2$ 为真

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ 为假

$x > \frac{4}{3}$ 为真

$x < - 2$ 为真

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ 为假

$x > \frac{4}{3}$ 为真

Step 10

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq - 2$ 或 $x \geq \frac{4}{3}$

Step 11

把不等式转换成区间计数法。

$(- \infty, - 2] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$

Step 12

初级微积分 示例

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