初级微积分示例

$x^{2} - y^{2} = 1$

Step 1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Step 2

将 $- y^{2} = 1 - x^{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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将 $- y^{2} = 1 - x^{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

化简左边。

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将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

化简右边。

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化简每一项。

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用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

将两个负数相除得到一个正数。

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Step 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Step 4

化简 $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ 。

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化简表达式。

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将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

将 $- 1^{2}$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Step 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Step 6

将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Step 7

求解 $x$ 。

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如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

最终解为使 $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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检验区间 $x < - 1$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $x < - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

左边的 $15$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

检验区间 $- 1 < x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $- 1 < x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

左边的 $- 1$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

检验区间 $x > 1$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $x > 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

左边的 $15$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq - 1$ 或 $x \geq 1$

Step 8

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

集合符号：

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Step 9

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${y | y \in ℝ}$

Step 10

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {x | x \leq - 1, x \geq 1}$

值域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 11

初级微积分 示例

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