初级微积分示例

$f (x) = \sin (2 x) - \sin (x)$

Step 1

将 $\sin (2 x) - \sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Step 2

求解 $x$ 。

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使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

从 $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

从 $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

化简右边。

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$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

求 $\sin (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) - 1 = 0$ 。

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在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \cos (x) = 1$

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

化简右边。

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$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

合并分数。

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组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

化简分子。

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将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

求 $\cos (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

最终解为使 $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 3

初级微积分 示例

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