初级微积分示例

$x^{2} - x \geq 2$

Step 1

把不等式转换成方程。

$x^{2} - x = 2$

Step 2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} - x - 2 = 0$

Step 3

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解。

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思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x + 1) = 0$

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Step 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Step 5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

$x = 2$

Step 6

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

$x = - 1$

Step 7

最终解为使 $(x - 2) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1$

Step 8

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Step 9

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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检验区间 $x < - 1$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $x < - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

${(- 4)}^{2} - (- 4) \geq 2$

左边的 $20$ 大于右边的 $2$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

True

检验区间 $- 1 < x < 2$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $- 1 < x < 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} - (0) \geq 2$

左边的 $0$ 小于右边的 $2$ ，即给定的命题是假命题。

False

False

检验区间 $x > 2$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $x > 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

${(4)}^{2} - (4) \geq 2$

左边的 $12$ 大于右边的 $2$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

True

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 2$ 为假

$x > 2$ 为真

$x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 2$ 为假

$x > 2$ 为真

Step 10

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq - 1$ 或 $x \geq 2$

Step 11

把不等式转换成区间计数法。

$(- \infty, - 1] \cup [2, \infty)$

Step 12

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$