初级微积分示例

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 9 = 0$

Step 1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$

Step 2

对 $4 x^{2} - 8 x$ 进行配方。

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使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

化简右边。

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约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

约去公因数。

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从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

重写表达式。

$d = \frac{- 4}{4}$

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

约去公因数。

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从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

约去公因数。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

化简右边。

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化简每一项。

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对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

用 $64$ 除以 $16$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - 4$

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$e = - 4$

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ 。

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

Step 3

在方程 $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$ 中，用 $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ 代替 $4 x^{2} - 8 x$ 。

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 6 y = - 9$

Step 4

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $- 4$ 移到等式右边。

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 6 y = - 9 + 4$

Step 5

对 $y^{2} + 6 y$ 进行配方。

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使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

约去公因数。

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从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

重写表达式。

$d = \frac{3}{1}$

用 $3$ 除以 $1$ 。

$d = 3$

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

化简右边。

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化简每一项。

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对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{36}{4}$

用 $36$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - 9$

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$e = - 9$

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 3)}^{2} - 9$ 。

${(y + 3)}^{2} - 9$

Step 6

在方程 $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$ 中，用 ${(y + 3)}^{2} - 9$ 代替 $y^{2} + 6 y$ 。

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} - 9 = - 9 + 4$

Step 7

通过在等式两边同时加上 $9$ 的方法来将 $- 9$ 移到等式右边。

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 9 + 4 + 9$

Step 8

化简 $- 9 + 4 + 9$ 。

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将 $- 9$ 和 $4$ 相加。

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 5 + 9$

将 $- 5$ 和 $9$ 相加。

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$

Step 9

将每一项除以 $4$ 以使方程右边等于一。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Step 10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

${(x - 1)}^{2} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

初级微积分 示例

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